高斯函式，又稱為取整函式，常用的性質有：
x-1<[x]≤x<[x]+1
[x+n]=n+[x]
=(n∈z)
[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1等
與函式有關的幾個重要結論
結論1 設函式y=f(x)是定義在r上的奇函式
（1）若f(x)在r上為單調函式，則|f(x1)|<|f(x2)|<=>|x1|<|x2|
（2）若f(x)在r上為增函式，則|f(x1)||x1|（3）若f(x)在r上為減函式，則|f(x1)||x1|<-x2
結論2 設函式y=f(x)是定義在r上的偶函式
（1）若f(x)在[0,+∞)上為增函式，則f(x1)|x1|<|x2|
（2）若f(x)在[0,+∞)上為減函式，則f(x1)|x1|>|x2|
奇、偶函式的概念可以推廣：
定義1 對於函式f(x)(x∈r)，若存在常數a，使得其函式定義域內任意乙個x,都有f(a-x)=f(a+x)或f(2a-x)=f(x)
則稱f(x)為廣義（1）型偶函式。顯然，當a=0時，f(x)為一般的偶函式。
對於函式f(x)(x∈r)，若存在常數a，使得其函式定義域內任意乙個x,都有f(a-x)=-f(a+x)或f(2a-x)=-f(x)
則稱f(x)為廣義（1）型奇函式。顯然，當a=0時，f(x)為一般的奇函式。
定義2 對於函式f(x)(x∈r)，若存在常數a,b，使得其函式定義域內任意乙個x，都有f(a-x)=f(b+x)
則稱f(x)為廣義（2）型偶函式。顯然，當a=b時，f(x)為廣義（1）型偶函式；當a=b=0時，f(x)為一般的偶函式。
對於函式f(x)(x∈r)，若存在常數a,b，使得其函式定義域內任意乙個x，都有f(a-x)=-f(b+x)
則稱f(x)為廣義（2）型奇函式。顯然，當a=b時，f(x)為廣義（1）型奇函式；當a=b=0時，f(x)為一般的奇函式 。
定義3 對於函式f(x)(x∈r)，若存在常數a,b,m,n(m>0,n>0)，使得其定義域內任意乙個x，都有f(a-mx)=f(b+nx)
則稱f(x)為廣義（3）型偶函式。顯然，當m=n=1時，f(x)為廣義（2）型偶函式；當a=b=0,且m=n時，f(x)為一般的偶函式。
對於函式f(x)(x∈r)，若存在常數a,b,m,n(m>0,n>0)，使得其定義域內任意乙個x，都有f(a-mx)=-f(b+nx)
則稱f(x)為廣義（3）型奇函式。顯然，當m=n=1時，f(x)為廣義（2）型奇函式；當a=b=0,且m=n時，f(x)為一般的奇函式。
結論3 設f(x)為定義在r上的廣義（2）型偶函式
（1）若f(x)在[(a+b)/2,+∞)上為增函式，則
f(x1)|x1-(a+b)/2|<|x2-(a+b)/2|
（2）若f(x)在[(a+b)/2,+∞)上為減函式，則
f(x1)|x1-(a+b)/2|>|x2-(a+b)/2|
結論4 設f(x)為定義在r上的廣義（2）型奇函式
（1）若f(x)在r上為單調函式，則
|f(x1)|<|f(x2)|<=>|x1-(a+b)/2|<|x2-(a+b)/2|
（2）若f(x)在r上為增函式，則
|f(x1)||x1-(a+b)/2|（3）若f(x)在r上為減函式，則
|f(x1)||x1-(a+b)/2|<(a+b)/2-x2
結論5 設a,b是兩個相異的實數，則
（1）當f(x)關於a,b均為廣義（1）型偶函式時，f(x)為週期函式，且2|b-a|為其乙個正週期
（2）當f(x)關於a,b均為廣義（1）型奇函式時，f(x)為週期函式，且2|b-a|為其乙個正週期
（1）當f(x)關於a,b，乙個為廣義（1）型奇函式，乙個為廣義（1）型偶函式時，f(x)為週期函式，且4|b-a|為其乙個正週期
結論6 設f(x)為定義在r上的函式，對任意x∈r，恒有
（1）f(a-x)=f(b-x)(或f(a+x)=f(b+x))(a≠b)成立，則f(x)為週期函式，且|b-a|為其一正週期
（2）f(a+x)=-f(b+x)(或f(a-x)=-f(b-x))(a≠b)成立，則f(x)為週期函式，且2|b-a|為其一正週期
（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x)(a≠0)成立，則f(x)為週期函式，且6|a|為其一正週期
結論7 對於實數ai,bi,mi,ni(n=1,2)，且m1m2=n1n2,m1(a2-b1)≠n1(a1-b2),若對於定義在r上的函式f(x)，且對於任意x∈r，有
(1)f(ai-mix)=f(bi+nxi)(i=1,2),則f(x)為週期函式，且|(a2-b1)+m2(b2-a1)/n2|為其一正週期
(2)f(ai-mix)=-f(bi+nxi)(i=1,2),則f(x)為週期函式，且|(a2-b1)+n1(b2-a1)/m1|為其一正週期
(3)f(a1-m1x)=f(b1+n1x),f(a2-m2x)=-f(b2+n2x),則f(x)為週期函式，且2|(a2-b1)+n1(b2-a1)/m1|為其一正週期
結論8 設t為非零常數，若對於函式定義域內的任意x，恒有f(x+t)=m[f(x)]，其中m(x)滿足m[m(x)]=x，且m(x)≠x,則f(x)為週期函式，且2t為其乙個週期。
以上結論3～8均由週期函式的定義即可推證
我們知道，對於奇函式，其影象關於原點（0，0）成中心對稱；對於偶函式，其影象關於y軸（x=0）成軸對稱。一般地，我們有
結論9 函式f(x)定義在r上，對於定義域內任意一實數x，都有
f(a+x)+f(b-x)=c
成立的充要條件是函式f(x)的影象關於點((a+b)/2,c/2)成中心對稱。
結論10 函式f(x)定義在r上，對於定義域內任一實數x，都有
f(a+x)-f(b-x)=0
成立的充要條件是函式f(x)的影象關於直線x=(a+b)/2成軸對稱。
※※第一講函式練習※※
1.求函式y=x+√(x^2-3x+2）的值域。[1,3/2)∪[2,+∞)
和g(x)的定義域都是r，f(x)是偶函式，g(x)是奇函式，且f(x)+g(x)=1/(x^-x+1)，那麼f(x)/g(x)的取值範圍為？x>0時，f(x)/g(x)≥2；x<0時，f(x)/g(x)≤-2
3.（1）已知定義在實數集上的奇函式f(x)始終滿足f(x+2)=-f(x)，且當0≤x≤1時，f(x)=x，求f(15/2)的值。-1/2
（2）函式f(x)=(9^x-1)/3^(x+1)-√(1-x^2)/(|x+2|-2)+1，已知f(a)=√3，求f(-a)的值（|a|<1)。2-√3
是定義在r上的函式，對任意實數x，都有f(x+3)≤f(x)+3,f(x+2)≥f(x)+2，若f(998)=1002，求f(2000)的值。2004
5.已知二次函式f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈r,a≠0)。（1）f(-1)=0,(2)對任意x∈r,x≤f(x)≤(x^2+1)/2，那麼a=？
b=？c=？1/4,1/2,1/4
6.若函式f(x)=-x^2/2+13/2在區間[a,b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a,b]。[1,3]或[-2-√17,13/4]
7.已知1/3≤a≤1，若f(x)=ax^2-2x+1在[1,3]上最大值為m(a)，最小值為n(a)，令g(a)=m(a)-n(a)。（1）求g(a)的函式表示式 g(a)=a+1/a-2,a∈[1/3,1/2]或g(a)=9a+1/a-6,a∈(1/2,1]（2）判斷函式g(a)的單調性，並求出g(a)的最小值 [1/3,1/2]上單減，[1/2,1]上單增，g(a)min=1/2
8.對於函式f(x)，若存在x0∈r，使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點，已知函式f(x)=ax^2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)。
（1）當a=1,b=-2時，求函式f(x)的不動點
（2）若對於任意實數b，函式f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值範圍
（3）在（2）的條件下，若y=f(x)的影象上a,b兩點的橫座標是函式f(x)的不動點，且a,b兩點關於直線y=kx+1/(2a^2+1)對稱，求b的最小值
9.函式f(x)定義在實數域上，且滿足下列條件：對任何實數x，有f(2+x)=f(2-x)，且f(7+x)=f(7-x)。
若x=0是方程f(x)=0的乙個根，問方程f(x)=0在區間-1000≤x≤1000中至少應有幾個根？
10.設函式f(x)對所有x>0有定義，且滿足：（1）函式f(x)在(0,+∞)上嚴格遞增；(2)對所有x>0均有f(x)>-1/x；（3）對所有x>0均有f(x)f[f(x)+1/x]=1，求函式值f(1)。
11.已知實數x不是整數，且x+99/x=[x]+99/[x]，求x的值
12.求實數a的取值範圍，使得對任意實數x與任意的a∈[0,π/2]恒有(x+3+2sinαcosα)^2+(x+asinα+acosα)^2≤1/8
13.求函式f(x)=x(1-x)/(x+1)(x+2)(2x+1),x∈(0,1]的最大值。
14.已知f(x)是定義在r上的不恒為0的函式，且對於任意的a,b∈r，滿足f(ab)=af(b)+bf(a)。（1）求f(0),f(1)的值；（2）判斷f(x)奇偶性，並證明；（3）f(2)=2,an=f[2^(-n)]/n (n∈n*)，求數列的前n項和sn。
15.設函式y=f(x)是定義在r上的偶函式，其影象關於直線x=1對稱，對任意x1,x2∈[0,1/2]都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，且f(1)=a>0。（1）求f(1/2),f(1/4)；（2）求證f(x)是週期函式；（3）記an=f(2n+1/2n)，求lim(n→∞)(lnan)。
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