指數與指數函式
知識梳理
1.指數
（1）n次方根的定義
若xn=a，則稱x為a的n次方根，「」是方根的記號.
在實數範圍內，正數的奇次方根是乙個正數，負數的奇次方根是乙個負數，0的奇次方根是0；正數的偶次方根是兩個絕對值相等符號相反的數，0的偶次方根是0，負數沒有偶次方根.
（2）方根的性質
①當n為奇數時， =a.
②當n為偶數時， =|a|=
（3）分數指數冪的意義
①a=（a＞0，m、n都是正整數，n＞1）.
②a==（a＞0，m、n都是正整數，n＞1）.
2. 一般地，函式y=ax（a＞0且a≠1）叫做指數函式.
3.指數函式的圖象和性質y=ax
例題講解
例1、·等於
ab.－
cd.例2、函式y=－ex的圖象
a.與y=ex的圖象關於y軸對稱b.與y=ex的圖象關於座標原點對稱
c.與y=e－x的圖象關於y軸對稱d.與y=e－x的圖象關於座標原點對稱
例3、已知關於x的方程2a－7a+3=0有乙個根是2, 求a的值和方程其餘的根
例4、設a是實數，試證明對於任意a,為增函式
例5、已知函式f(x)=(a－a)(a>0且a1)在(－, +)上是增函式, 求實數a的取值範圍
例6、求函式的定義域.
例7、若a＞0，b＞0，且a+b=c，
求證：(1)當r＞1時，ar+br＜cr；(2)當r＜1時，ar+br＞cr.
例8、已知函式在區間[－1,1]上的最大值是14，求a的值.
例9、（1）已知是奇函式，求常數m的值；
（2）畫出函式的圖象，並利用圖象回答：k為何值時，方程|3x－１｜＝k無解？有一解？有兩解？
例10、已知函式 (a＞1).
（1）判斷函式f (x)的奇偶性；
（2）求f (x)的值域；
（3）證明f (x)在(－∞，+∞)上是增函式.
例11、已知函式f(x)＝ax－2(x≥0)的圖象經過點，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函式y＝f(x)(x≥0)的值域．
例12、畫出下列函式的圖象，並說明它們是由函式f(x)＝2x的圖象經過怎樣的變換得到的．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2|x|；
(4)y＝－2x.
例13、函式f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在區間[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
【答案】
例1、a 例2、d
例3、解: 2a－7a+3=0, a=或a=3.
a=時, 方程為: 8·()－14·()+3=0x=2或x=1－log3
a=2時, 方程為: ·2－·2+3=0x=2或x=－1－log2
例4、證明：設∈r,且
則由於指數函式 y=在r上是增函式,且,
所以即<0，
又由》0得+1>0, +1>0
所以<0即
因為此結論與a取值無關，所以對於a取任意實數，為增函式
例5、解: 由於f(x)遞增， 若設x則f(x)－f(x)=[(a－a)－(a－a)]=(a －a)(1+a·a)<0,
故(a－9)( (a －a)<0.
(1), 解得a>3; (2) , 解得0綜合(1)、(2)得a(0, 1)(3, +)。
例6、解：要使函式有意義必須：
∴定義域為：
例7、 解：，其中.
當r＞1時，，所以ar+br＜cr；
當r＜1時，，所以ar+br＞cr.
例8、解：，
換元為，對稱軸為.
當，，即x=1時取最大值，略
解得 a=3 (a= －5捨去)
例9、解： （1）常數m=1
（2）當k<0時，直線y=k與函式的圖象無
交點,即方程無解;
當k=0或k1時, 直線y=k與函式的圖象有唯一的交點，所以方程有一解;
當0例10、解：(1)是奇函式.(2)值域為(－1，1).(3)設x1＜x2，
則。=∵a＞1，x1＜x2，
∴a＜a.
又∵a+1＞0，a+1＞0，
∴f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2).
函式f(x)在(－∞，+∞)上是增函式.
例11、【解析】 (1)函式圖象過點，
所以a4－2＝＝2，∴a＝，
(2)f(x)＝x－2(x≥0)，
由x≥0，得x－2≥－2，
∴0∴函式y＝f(x)(x≥0)的值域為(0,9]．
例12、【解析】 如圖所示．
y=2x-1的圖象是由y=2x的圖象向右平移1個單位得到；
y=2x+1的圖象是由y=2x的圖象向上平移1個單位得到；
y=2|x|的圖象是由y=2x的y軸右邊的圖象和其關於y軸對稱的圖象組成的；
y=-2x的圖象與y=2x的圖象關於x軸對稱．
例13、【解析】 (1)若a>1，則f(x)在[1,2]上遞增，
∴a2－a＝，即a＝或a＝0(捨去)．
(2)若0∴a－a2＝，即a＝或a＝0(捨去)，
綜上所述，所求a的值為或.
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