第二章函式
一、函式的定義域：
1． 已知的定義域為，求的定義域
2． 已知函式的定義域為，求的定義域
二、函式的解析式：
1． 已知，求
2． 已知，求
3． 已知，求
4． 已知為一次函式，，求
5． 已知，求
6． 函式為奇函式，求
7． 已知函式，若，則的值為
三、函式的值域和最值：定義域優先
★ 初等函式的值域，如一次函式，二次函式，冪函式，反比例函式，對勾函式，指對函式，利用函式的影象或單調性來解決
★ 復合函式1）先求定義域；2）分解為內外函式；3）內函式的值域；4）內函式的值域即外函式的定義域，進而求得值域。如：；
★ 換元法（注：新元的範圍）：
（1）； （2）
（3）； （4）；
（56）（三角換元）
★ 分離常數法：（1）；（2）; (3); (4)
★ 反函式法（或反解）（1）；（2）; (3)
★ 判別式法：（1）
★ 均值不等式：
★ 單調性法：（1）（同號可利用對勾函式的單調性，不同號則單調）； （2）；
★ 導數法（函式的單調性）：函式在區間上的值域為
★ 數形結合：（1）；（2）
（3）；
★ 二元函式的值域或最值：
思路一：均值不等式，如：已知，且，求的最小值。
思路二：減元思想，如： 已知實數滿足，當時，求的最值
思路三：線性規劃問題，如：已知滿足約束條件，
（1）求的最大值和最小值；（2）若目標函式取得最大值的最優解有無窮多個，求的值；（3）求的取值範圍；（4）求的取值範圍
1. 已知函式的最大值為，最小值為，則的值為 （平方，三角換元，數形結合） 2.（代數換元法） 3.（三角換元法）
4.，（單調性法） 5. （換元）
6. 實數滿足， 1）；2）；3）；4）求的範圍
四、函式單調性的應用：
判斷：①定義 ↑；↓
②復合函式：同增異減 ③導數:↑ ↓
★ 常用結論：（1），；（2）與在對應區間上單調性相反
1．函式在上單調遞增，為偶函式，比較
2．（1）求函式的值域
（2）函式對於任意的滿足，若，則，，求在上的值域
3．定義域為的函式滿足且，當時，（1）求； （2）
4．（1）的單調減區間為，求的值
（2）在區間上單調遞減，求的範圍
五、函式的對稱性
1、奇偶性：定義域關於原點對稱
奇函式：（1） (2)影象關於原點對稱 （3）關於原點對稱的區間單調性相同 （4）奇函式在處有定義，則 （5）是奇函式關於對稱
偶函式：（1） (2)影象關於軸對稱
（3）關於原點對稱的區間單調性相反 （4）是偶函式
（5）是偶函式關於對稱
2、軸對稱
關於對稱
推廣： （1）關於對稱
（2）函式與關於軸對稱；
函式與關於
3、中心對稱
關於對稱
推廣： 關於對稱
關於對稱
結論：（1）函式與關於原點對稱；
（2）函式與關於軸原點對稱；
（3）函式與關於直線對稱；
（4）函式與關於原點對稱；
六、函式的週期性定義域不能有限
（1）定義：（）為週期為週期
（2）週期為：
，，，，，
（3）函式同時關於對稱，則
（4）函式同時關於點對稱，則
（5）函式同時關於對稱，則
七、反函式
（1）求反函式：①求原函式的值域；②反解；③對調，註明定義域
（2）原函式與反函式的影象關於對稱，即在的影象上，則點在的影象上，即。
注：與的影象在同一座標系下相同
（3）函式與具有相同的單調性；奇函式若有反函式則反函式一定還是奇函式
八、影象變換
1、平移變換①左右平移
②左右平移
③向量平移的影象按向量平移後，得
2、伸縮變換①橫向伸縮
②橫向伸縮
3、翻摺變換：下翻上
4、對稱變換：保右去左再對稱
九、導數
1、導數的幾何意義：曲線在該點處的切線的斜率，瞬時速度，邊際成本，，，
應用導數求曲線的切線方程，注意切點在不在曲線上，已知點是不是切點
2、單調性：
在乙個區間上（不恒為0）在此區間上單調遞增
在乙個區間上（不恒為0）在此區間上單調遞減
3、極值：導數為0且「左正右負」 取得極大值；導數為0且「左負右正」 取得極小值
求極值：①求導數 ②導數為零的根 ③導數大於0和小於0的解集 ④求出極值也可列表
注意：給出極值的條件時，一定既要考慮導數為0，又得考慮驗證「左正右負」（ 「左負右正」）
4、最值：在閉區間上的最大值是在極大值與端點值中的「最大值」；在閉區間上的最小值是在極小值與端點值中的「最小值」
求最值：先求導數為0的點，比較定義域的端點值和導數為0的點對應的函式值的大小，也可列表
第三章數列
一、等差數列
1）定義：（常數）或(常數)
例在數列中，已知，證明數列成等差數列
2）通項：
成等差數列
3）前項和
成等差數列
4）等差中項的等差中項，即
【注】 任兩數存在等差中項且唯一
成等差數列（）
5)性質：①下角碼成等差數列，對應項成等差數列；
②③成等差數列；
④成等差數列，首相為，公差為；
⑤為奇數，，；為偶數，
⑥是等差數列，則是等比數列
⑦數列成等差數列，數列成等差數列
二、等比數列 1）定義：（常數）或
練：數列中，，求證為等比數列
2）通項:
成等差數列
3）前項和【注】 公比是否為1討論
4）等比中項：的等比中項即
【注】 僅同號且時存在等比中項且不唯一
成等比數列（）
5)性質：①下角碼成等差數列，對應項成等比數列；
②③成等比數列，公比為（）；
④為奇數，， ；為偶數，
⑤是等比數列，則是等差數列
⑥數列成等比數列，數列成等比數列，數列是等比數列
三、求通項
1、觀察法就是觀察數列特徵，找出各項共同的構成規律，橫向看各項之間的關係結構，縱向看各項與項數n的內在聯絡，歸納出數列的通向公式
2、 定義法等差數列或等比數列的定義
3、 公式法已知或
則注：對n分類討論，但若能合寫時一定要合併．
4、 由遞推公式求數列通項法
對於遞推公式確定的數列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉化為等差數列或等比數列問題，有時也用到一些特殊的轉化方法與特殊數列。
1） 逐差法（或逐商法）
遞推公式為（或）。 ，
例已知數列中，求的通項公式
例已知數列滿足，求的通向公式。
2） 構造法
① 分式取倒數法遞推公式為（p,q,s,為常數）。
例已知數列的首項，求
②待定係數法遞推公式為（其中p，q均為常數，）
例已知數列中，，求。
③遞推式：
例設：，求.
提示：例遞推公式為（其中p，q均為常數，），在原遞推公式兩邊同除以，得：
引入輔助數列（其中），得：再應用型別6的方法解決。
結論：為等比數列，則為等比數列
例已知數列中，,，求。
四、數列求和
1、 公式法
（1） 等差數列和等比數列求和公式
（2） 正整數列求和公式：
（3） 正整數平方求和公式：
（4） 正整數立方求和公式：
2、 分組求和法通項結構：通項為幾個等差、等比或常見的數列的和與差。分別求和再合併結果。
3、 錯位相減法通項結構：是等差數列，是等比數列，數列的前項和用錯
位相減法
4、 裂項相消法通項結構：分式，分母為等差數列的兩項相乘，分子為常數。
設是公差為的等差數列，滿足： ，則
常見的裂項公式：
（6）（78）
5、 倒序求和法
通項的結構特徵：如果乙個數列，與首末兩項等距的兩項之和等於首末兩項之和，可採用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，有公因式可提，並且剩餘的項的和可求出來，這一求和的方法稱為倒序求和法.
例：設：
求提示：根據結構研究,再利用倒序求和法。
第四章三角函式
一、 終邊相同的角，軸上角，象限角的表示，倍半形
二、弧長公式和扇形面積公式，
三、三角函式的定義和符號及特殊角的三角函式，三角函式線
為銳角四、同角三角函式基本關係式，誘導公式，和差公式和二倍角公式 ，輔助角公式
常用技巧：切割化弦 1的代換
化簡原則：統一角，統一三角函式名，
誘導公式：奇變偶不變，符號看象限（符號：一全正，二正弦，三兩切，四余弦），化簡原則：負化正，大化小，化到銳角為終了
五、三角函式的影象和性質
1、正弦函式，余弦函式，正切函式的影象
2、三角函式的定義域，值域，單調性，奇偶性，週期性
的週期都是，的週期都是，的週期是，的週期是，不是週期函式
例求下列函式的值域 ：
例求的單調區間
六、三角形中的三角函式
1、2、任意兩邊之和大於第三邊，任意兩邊的差小於第三邊
3、正餘弦定理和三角形面積公式
（為內切圓半徑）
4、判斷三角形形狀：
①銳角△：任意兩角和大於，；
②直角△:勾股定理;③鈍角△；
④等腰（邊）△：
七、反三角
（1）的範圍分別是
（2）異面直線所成的角，線面角，二面角，向量的夾角的範圍分別是，傾斜角，到角，夾角的範圍分別是
第五章向量
一、向量運算的幾何形式和座標形式
三角形法則，平行四邊法則
二、概念：單位向量（與共線的單位向量是，特別：）、平行（共線）向量、相等向量、相反向量、向量垂直及投影（在上的投影是）
三、，為非零向量，
，，四、平面向量基本定理。三點共線：三點共線；，三點共線，特別地， 是的中點
五、向量的數量積：，，，
為銳角且不同向；為直角且；為鈍角且不反向
對比六、定比分點座標公式，中點座標公式，重心座標公式
為的重心；
為的垂心；
所在的直線過的內心；
是的內心。
第六章不等式
一、比較大小
作差比較，作商比較，函式的性質，綜合法，分析法，放縮法
二、不等式的性質
注：不等式兩邊同乘以或除以乙個數時，數為0，正數還是負數
三、重要不等式和均值不等式
；（注：一正二定三相等）
（當且僅當時取等號）
四、解不等式
一次，二次不等式（結合二次函式影象及性質，二次方程），高次不等式（標根穿線法，奇過偶不過），分式不等式(注：移項通分，分母不為零)，指數和對數不等式（函式的單調性底數的討論），根式不等式和絕對值不等式（去絕對值）
高中數學知識易錯點梳理
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