廣州市育才中學數學科鄧軍民整理
一、三角函式
常用公式
由於是講競賽，這裡就不再重複過於基礎的東西，例如六種三角函式之間的轉換，兩角和與差的三角函式，二倍角公式等等。但是由於現在的教材中常用公式刪得太多，有些還是不能不寫。先從最基礎的開始（這些必須熟練掌握）：
半形公式
積化和差
和差化積
萬能公式
三倍角公式
二、某些特殊角的三角函式值
除了課本中的以外，還有一些
三、三角函式求值
給出乙個複雜的式子，要求化簡。這樣的題目經常考，而且一般化出來都是乙個具體值。要熟練應用上面的常用式子，個人認為和差化積、積化和差是競賽中最常用的，如果看到一些不常用的角，應當考慮用和差化積、積化和差，一般情況下直接使用不了的時候，可以考慮先乘乙個三角函式，然後利用積化和差化簡，最後再把這個三角函式除下去
舉個例子
求值：提示：乘以，化簡後再除下去。
求值：來個複雜的
設n為正整數，求證
另外這個題目也可以用複數的知識來解決，在複數的那一章節裡再講
四、三角不等式證明
最常用的公式一般就是：x為銳角，則；還有就是正余弦的有界性。
例求證：x為銳角，sinx+tanx<2x
設，且，求乘積的最大值和最小值。
注：這個題目比較難
數列關於數列的知識可以說怎麼學怎麼有，還好我們只是來了解競賽中最基本的一些東西，不然我可寫不完了。
1給遞推式求通項公式
(1)常見形式即一般求解方法
注：以下各種情況只需掌握方法即可，沒有必要記住結果，否則數學就變成無意義的機械勞動了。
①若p=1，則顯然是以a1為首項，q為公差的等差數列，
若p≠1，則兩邊同時加上，變為
顯然是以為首項，p為公比的等比數列
②，其中f(n)不是常數
若p=1，則顯然an=a1+，n≥2
若p≠1，則兩邊同時除以pn+1，變形為
利用疊加法易得，從而
注：還有一些遞推公式也可以用一般方法解決，但是其他情況我們一般使用其他更方便的方法，下面我們再介紹一些屬於數學競賽中的「高階方法」。
(2)不動點法
當f(x)=x時，x的取值稱為不動點，不動點是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。
典型例子：
注：我感覺一般非用不動點不可的也就這個了，所以記住它的解法就足夠了。
我們如果用一般方法解決此題也不是不可以，只是又要待定係數，又要求倒數之類的，太複雜，如果用不動點的方法，此題就很容易了
令，即，
令此方程的兩個根為x1，x2，
若x1=x2
則有其中k可以用待定係數法求解，然後再利用等差數列通項公式求解。
注：如果有能力，可以將p的表示式記住，p=
若x1≠x2則有
其中k可以用待定係數法求解，然後再利用等比數列通項公式求解。
注：如果有能力，可以將q的表示式記住，q=
(3)特徵根法
特徵根法是專用來求線性遞推式的好方法。
先來了解特徵方程的一般例子，通過這個來學會使用特徵方程。
①特徵方程為x2=px+q，令其兩根為x1，x2
則其通項公式為，a、b用待定係數法求得。
②特徵方程為x3=px2+qx+r，令其三根為x1，x2，x3
則其通項公式為，a、b、c用待定係數法求得。
注：通過這兩個例子我們應當能夠得到特徵方程解線性遞迴式的一般方法，可以試著寫出對於一般線性遞迴式的特徵方程和通項公式，鑑於3次以上的方程求解比較困難，且競賽中也不多見，我們僅需掌握這兩種就夠了。
(4)數學歸納法
簡單說就是根據前幾項的規律猜出乙個結果然後用數學歸納法去證。這樣的題雖說有不少但是要提高不完全歸納的水平實在不易。大家應當都會用數學歸納法，因此這裡不詳細說了。
但需要記得有這樣乙個方法，適當的時候可以拿出來用。
(5)聯絡三角函式
三角函式是個很奇妙的東西，看看下面的例子
看起來似乎摸不著頭腦，只需聯絡正切二倍角公式，馬上就迎刃而解。
注：這需要我們對三角函式中的各種公式用得很熟，這樣的題目競賽書中能見到很多。
例數列定義如下：，，求通項
注：這個不太好看出來，試試大膽的猜想，然後去驗證。
(6)迭代法
先了解迭代的含義
f右上角的數字叫做迭代指數，其中是表示的反函式
再來了解復合的表示
， 如果設，則，就可以將求f(x)的迭代轉變為求f(x)的迭代。這個公式很容易證明。使用迭代法求值的基礎。
而在數列中我們可以將遞推式看成，因此求通項和求函式迭代就是一樣的了。
我們盡量找到好的g(x)，以便讓f(x)變得足夠簡單，這樣求f(x)的n次迭代就很容易得到了。從而再得到f(x)的n次迭代式即為通項公式。
練習，試求數列的通項公式。
注：此題比較綜合，需熟練掌握各種求通項公式的常用方法。
下面是我的乙個原創題目
已知數列滿足，，求該數列的通項公式。
2數列求和
求和的方法很多，像裂項求和，錯位相減等等，這些知識就算單純應付高考也應該都掌握了，這裡不再贅述。主要寫競賽中應當掌握的方法——阿貝爾恒等式。
阿貝爾（abel）恒等式
有多種形式，最一般的是
其中注：個人認為，掌握這乙個就夠了，當然還有更為一般的形式，但是不容易記，也不常用。abel恒等式就是給出了乙個新的求和方法。很多時候能簡化不少。
例：假設，且，求證：
計數問題
1抽屜原則
我第一次接觸抽屜原則，是在一本奧賽書的答案上，有一步驟是：由抽屜原則可得……，於是我就問同學，什麼是抽屜原則，同學告訴我，三個蘋果放進兩個抽屜，必有乙個抽屜裡至少有兩個蘋果。後來才發現，抽屜原則不只是這麼簡單的，它有著廣泛的應用以及許多種不同的變形，下面簡單介紹一下抽屜原則。
抽屜原則的常見形式
一，把n+k（k≥1）個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，一定存在乙個抽屜中至少有兩個物體。
二，把mn+k（k≥1）個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，一定存在乙個抽屜中至少有m+1個物體。
三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，那麼後在乙個抽屜裡至少放入了m1+1個物體，或在第二個抽屜裡至少放入了m2+1個物體，……，或在第n個抽屜裡至少放入了mn+1個物體
四，把m個物體以任意方式全部放入n個抽屜中，有兩種情況：①當n|m時（n|m表示n整除m），一定存在乙個抽屜中至少放入了個物體；②當n不能整除m時，一定存在乙個抽屜中至少放入了+1個物體（[x]表示不超過x的最大整數）
五，把無窮多個元素分成有限類，則至少有一類包含無窮多個元素。
注：背下來上面的幾種形式沒有必要，但應當清楚這些形式雖然不同，卻都表示的乙個意思。理解它們的含義最重要。
在各種競賽題中，往往抽屜原則考得不少，但一般不會很明顯的讓人看出來，構造抽屜才是抽屜原則中最難的東西。一般來說，題目中一旦出現了「總有」「至少有」「總存在」之類的詞，就暗示著我們：要構造抽屜了。
例：從自然數1，2，3，…99，100這100個數中隨意取出51個數來，求證：其中一定有兩個數，它們中的乙個是另乙個的倍數.
用2種顏色塗5×5共25個小方格，證明：必有乙個四角同色的矩形出現.
2容斥原理
容斥原理常常使用，其實說簡單點，就是從多的往下減，減過頭了在加回來，又加多了再減，減多了再加……，最終得到正確結果。對於計數中容易出現重複的題目，我們常常採用容斥原理，去掉重複的情況。
容斥原理基本形式：
其中|a|表示集合a中元素的個數。
例：在不大於2004的正整數中，至少可被3,5,7之一整除？
由數字1，2，3，4，5組成的n位數，要求n位數中這五個數字每個至少出現一次，求所有這種n位數的個數。
3遞推方法
許多競賽題目正面計算十分困難，於是我們避開正面計算，先考慮n-1時的情況，在計算n時的情況比n-1時的情況增添了多少，然後寫出乙個遞推式，這樣就可以利用數列的知識進行解決，但一般要求根據遞推式求通項的能力要比較強，是和擅長數列的同學使用。沒什麼具體解釋，多多練習吧
例設m為大於1的正整數，數列滿足：a1+a2+……+an模m餘0，04對映計數
個人認為對映計數絕對是計數方法中最經典的一種，常常能將複雜至極的問題簡單化，變**人都會做的普通題目。但是想熟練掌握往往是不容易的，要求有大量的習題積累，才能形成建立對映的能力。
明確概念：對於y=f(x)
單射：不同的x對應不同的y，即|x|≤|y|
滿射：每個y至少有乙個x對映，即|x|≥|y|
雙射：即是單射又是滿射，即|x|=|y|
倍數對映：|x|=m|y|
注：雙射即通常說的一一對映，有的人將雙射理解為m=2的倍數對映或其他對映，這是不對的。不要從感覺上去理解。雙射應當是「單射」「滿射」的綜合。
利用對映解題，一般是建立雙射，將要證明的問題轉化為其他的問題，但是計算總數不變。而我們不僅要會建立雙射，也應會建立單射和滿射，因為顯然建立單射和滿射是證明不等關係的極好方法，不可以忽略。利用倍數對映解決的題目，我目前還沒遇到多少，但還是要時刻記著有這樣一種方法。
一，建立雙射
例集合有多少個元素和為奇數的子集？
將正整數n寫成若干個1與若干個2之和，和項的順序不同認為是不同的寫法，所有寫法的種數記為a(n)；將正整數n寫成若干個大於1的正整數之和，和項順序不同認為是不同的寫法，所有寫法的種數記為b(n)，求證：a(n)=b(n+2)
注：此題即為很好的對映計數例子。因為即便不用對映我們可以把a(n)求出來，再把b(n+2)求出來，然後比較後會發現兩者相等，但這顯然是超大工作量，如果使用了對映計數，我們只需用一些技巧，在a(n)和b(n+2)中建立雙射，此題即得到證明。
二，建立單射或滿射
例設n為正整數，我們稱的乙個排列具有性質p：如果存在1≤i≤2n-1，使得|xi-xi+1|=n，求證：對任何n，具有性質p的排列比不具有性質p的排列個數多。
注：對映計數可能會有一定難度，如果覺得掌握不了也不要灰心，只要多練，時間一長自然就會了。
不等式與最值
1平均不等式
設(i=1,2,…,n)
調和平均值：
幾何平均值：
算術平均值：
方冪平均值：
等號成立當且僅當
注意：運用平均不等式需注意各項均為正數！
題外話：有很多同學十分「痛恨」這兩個符號，總是看不懂，其實這兩個符號是絕對好用的，並且以後會常常遇到，在大學課本中更是家常便飯，多看幾次自然也就習慣了。
高中數學的基本知識,方法,思路等
高中數學 基本知識 基本思想 基本方法 基本學法 高中數學 基本知識 基本思想 基本方法 一 集合與簡易邏輯 1.必須弄清集合的元素是什麼，是函式關係中自變數的取值？還是因變數的取值？還是曲線上的點？2.數形結合是解集合問題的常用方法，解題時要盡可能地借助數軸 直角座標系或韋恩圖等工具，將抽象的代數...
高中數學競賽知識拓展
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高中數學基本知識基本思想基本方法學生版
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