高考數列知識集錦
1. ⑴等差、等比數列：
⑵看數列是不是等差數列有以下三種方法：
①②2()
③(為常數).
⑶看數列是不是等比數列有以下四種方法：
①②(，)①
注①：i. ，是a、b、c成等比的雙非條件，即a、b、c等比數列.
ii. （ac＞0）→為a、b、c等比數列的充分不必要.
iii. →為a、b、c等比數列的必要不充分.
iv. 且→為a、b、c等比數列的充要.
注意：任意兩數a、c不一定有等比中項，除非有ac＞0，則等比中項一定有兩個.
③(為非零常數).
④正數列{}成等比的充要條件是數列{}（）成等比數列.
⑷數列{}的前項和與通項的關係：
[注]： ①（可為零也可不為零→為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）→若不為0，則是等差數列充分條件）.
②等差{}前n項和 →可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若為零，則是等差數列的充分條件；若不為零，則是等差數列的充分條件.
③非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）
2. ①等差數列依次每k項的和仍成等差數列，其公差為原公差的k2倍；
②若等差數列的項數為2，則；
③若等差數列的項數為，則，且，
.3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
②③[注]：熟悉常用通項：9，99，999，…； 5，55，555，….
4. 等比數列的前項和公式的常見應用題：
⑴生產部門中有增長率的總產量問題. 例如，第一年產量為，年增長率為，則每年的產量成等比數列，公比為. 其中第年產量為，且過年後總產量為：
⑵銀行部門中按複利計算問題. 例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按複利計算，則每月的元過個月後便成為元. 因此，第二年年初可存款：
=.⑶分期付款應用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；為年利率.
5. 數列常見的幾種形式：
⑴（p、q為二階常數）用特證根方法求解.
具體步驟：①寫出特徵方程（對應，x對應），並設二根②若可設，若可設；③由初始值確定.
⑵（p、r為常數）用①轉化等差，等比數列；②逐項選代；③消去常數n轉化為的形式，再用特徵根方法求；④（公式法），由確定.
①轉化等差，等比：.
②選代法：
.③用特徵方程求解：.
④由選代法推導結果：.
6. 幾種常見的數列的思想方法：
⑴等差數列的前項和為，在時，有最大值. 如何確定使取最大值時的值，有兩種方法：
一是求使，成立的值；二是由利用二次函式的性質求的值.
⑵如果數列可以看作是乙個等差數列與乙個等比數列的對應項乘積，求此數列前項和可依照等比數列前項和的推倒導方法：錯位相減求和. 例如：
⑶兩個等差數列的相同項亦組成乙個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第乙個相同項，公差是兩個數列公差的最小公倍數.
2. 判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1)定義法:對於n≥2的任意自然數,驗證為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證都成立。
3. 在等差數列｛｝中,有關sn 的最值問題：(1)當》0,d<0時，滿足的項數m使得取最大值.
(2)當<0,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
（三）、數列求和的常用方法
1. 公式法:適用於等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。
2.裂項相消法:適用於其中是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等。
3.錯位相減法:適用於其中是等差數列，是各項不為0的等比數列。
4.倒序相加法: 類似於等差數列前n項和公式的推導方法.
5.常用結論
1）: 1+2+3+...+n =
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）4）5）6）數列的求和
一、教學目標：1．熟練掌握等差數列與等比數列的求和公式；
2．能運用倒序相加、錯位相減、拆項相消等重要的數學方法進行求和運算；
3．熟記一些常用的數列的和的公式．
二、教學重點：特殊數列求和的方法．
三、教學過程：
（一）主要知識：
1．直接法：即直接用等差、等比數列的求和公式求和。
（1）等差數列的求和公式：
（2）等比數列的求和公式（切記：公比含字母時一定要討論）
2．公式法：
3．錯位相減法：比如
4．裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項。
常見拆項公式
5．分組求和法：把數列的每一項分成若干項，使其轉化為等差或等比數列，再求和。
6．合併求和法：如求的和。
7．倒序相加法：
8．其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法等
（二）主要方法：
1．求數列的和注意方法的選取：關鍵是看數列的通項公式；
2．求和過程中注意分類討論思想的運用；
3．轉化思想的運用；
（三）例題分析：
例1．求和：①
求數列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n項和
思路分析：通過分組，直接用公式求和。
解：①②（1）當時，
（2）當
③總結：運用等比數列前n項和公式時，要注意公比討論。
2．錯位相減法求和
例2．已知數列，求前n項和。
思路分析：已知數列各項是等差數列1，3，5，…2n-1與等比數列對應項積，可用錯位相減法求和。
解：當 當
3.裂項相消法求和
例3.求和
思路分析:分式求和可用裂項相消法求和.
解: 練習:求答案:
4.倒序相加法求和
例4求證：
思路分析：由可用倒序相加法求和。
證：令則
等式成立
5．其它求和方法
還可用歸納猜想法，奇偶法等方法求和。
例5．已知數列。
思路分析：，通過分組，對n分奇偶討論求和。
解：，若
若預備：已知成等差數列，n為正偶數，
又，試比較與3的大小。
解： 可求得，∵n為正偶數，
（四）鞏固練習：
1．求下列數列的前項和：
（1）5，55，555，5555，…，，…； （2）；
（34）；
（56）．
解：（1）
．（2）∵，
∴．（3）∵∴．
（4），
當時，…，
當時，…，
…， 兩式相減得…，
∴．（5）∵，
∴ 原式……．
（6）設，
又∵，∴，．2．已知數列的通項，求其前項和．
解：奇數項組成以為首項，公差為12的等差數列，
偶數項組成以為首項，公比為4的等比數列；
當為奇數時，奇數項有項，偶數項有項，
∴，當為偶數時，奇數項和偶數項分別有項，
∴，所以，．
四、小結：
1．掌握各種求和基本方法；
2．利用等比數列求和公式時注意分討論。
數列通項公式的十種求法
一、公式法
例1 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，則，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，說明數列是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出，進而求出數列的通項公式。
二、累加法
例2 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以數列的通項公式為。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例3 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例4 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，
則，故因此，
則評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式，最後再求數列的通項公式。
三、累乘法
例5 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：因為，所以，則，故
所以數列的通項公式為
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例6 （2023年全國i第15題，原題是填空題）已知數列滿足，求的通項公式。
解：因為 ①
所以 ②
用②式－①式得則故
所以 ③
由，，則，又知，則，代入③得。
所以，的通項公式為
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，從而可得當的表示式，最後再求出數列的通項公式。
四、待定係數法
例7 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ④
將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，則，則數列是以為首項，以2為公比的等比數列，則，故。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
例8 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑥
將代入⑥式，得
整理得。
令，則，代入⑥式得
⑦由及⑦式，
得，則，
故數列是以為首項，以3為公比的等比數列，因此，則。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求數列的通項公式。
例9 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑧
將代入⑧式，得
，則等式兩邊消去，得，
解方程組，則，代入⑧式，得
⑨由及⑨式，得
則，故數列為以為首項，以2為公比的等比數列，因此，則。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
五、對數變換法
例10 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：因為，所以。在式兩邊取常用對數得 ⑩
設將⑩式代入式，得，兩邊消去並整理，得，則
，故代入式，得
由及式，
得，則，
所以數列是以為首項，以5為公比的等比數列，則，因此
則。評注：本題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
高中數學知識整理 數列
這個問題可以分步 1 這位大臣所要求的麥粒數大約是多少？由等比數列前n項和公式可推出總粒數為2的64次冪減1,這個數字約為1.8447 1019 2 這些麥粒大約合多少噸？如果麥子的千粒重設為40g，那麼總質量就是7300多億噸 3 要湊夠這些小麥需多少年？參考資料 拿我們這個世界上小麥第一大生產國...
高中數學數列知識點解析
高中數學數列 考試內容 數學探索版權所有數列 數學探索版權所有等差數列及其通項公式 等差數列前n項和公式 數學探索版權所有等比數列及其通項公式 等比數列前n項和公式 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有理解數列的概念，了解數列通項公式的意義了解遞推公式是給出數列的一種方法，並能根據遞推公式寫出...
高中數學數列知識點總結
1.等差數列的有關概念 1 等差數列的判斷方法 定義法或。2 等差數列的通項 或。如等差數列中，則通項 3 等差數列的前和 4 等差中項 若成等差數列，則a叫做與的等差中項，且。提醒 1 等差數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素 及，其中 稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求...