第一部分：數列的基本概念
1．理解數列定義的四個要點
⑴數列中的數是按一定「次序」排列的，在這裡，只強調有「次序」，而不強調有「規律」．因此，如果組成兩個數列的數相同而次序不同，那麼它們就是不同的數列．
⑵在數列中同乙個數可以重複出現．
⑶項a與項數n是兩個根本不同的概念．
⑷數列可以看作乙個定義域為正整數集(或它的有限子集)的函式當自變數從小到大依次取值時對應的一列函式值，但函式不一定是數列．
2．數列的通項公式
乙個數列的第n項a與項數n之間的函式關係，如果用乙個公式a=來表示，就把這個公式叫做數列的通項公式。若給出數列的通項公式，則這個數列是已知的。若數列的前n項和記為s，則s與a的關係是：
a=。第二部分：等差數列
1．等差數列定義的幾個特點：
⑴公差是從第一項起，每一項減去它前一項的差(同一常數)，即d = a－a (n≥2)或d = a－a (nn)．
⑵要證明乙個數列是等差數列，必須對任意nn，a－a= d (n≥2)或d = a－a都成立．一般採用的形式為：
1 當n≥2時，有a－a= d (d為常數)．
②當n時，有a－a= d (d為常數)．
③當n≥2時，有a－a= a－a成立．
若判斷數列不是等差數列，只需有a－a≠a－a即可．
2．等差中項
若a、a、b成等差數列，即a=，則a是a與b的等差中項；若a=，則a、a、b成等差數列，故a=是a、a、b成等差數列，的充要條件。由於a=，所以，等差數列的每一項都是它前一項與後一項的等差中項。
3．等差數列的基本性質
⑴公差為d的等差數列，各項同加一數所得數列仍是等差數列，其公差仍為d．
⑵公差為d的等差數列，各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列，其公差為kd．
⑶若、為等差數列，則與(k、b為非零常數)也是等差數列．
⑷對任何m、n，在等差數列中有：a= a+ (n－m)d，特別地，當m = 1時，便得等差數列的通項公式，此式較等差數列的通項公式更具有一般性．
⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數，且l + k + p + … = m + n + r + … （兩邊的自然數個數相等），那麼當為等差數列時，有：a+ a+ a+ … = a+ a+ a+ … ．
⑹公差為d的等差數列，從中取出等距離的項，構成乙個新數列，此數列仍是等差數列，其公差為kd( k為取出項數之差)．
⑺如果是等差數列，公差為d，那麼，a，a，…，a、a也是等差數列，其公差為－d；在等差數列中，a－a= a－a= md ．(其中m、k、)
⑻在等差數列中，從第一項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它前後兩項的等差中項．
⑼當公差d＞0時，等差數列中的數隨項數的增大而增大；當d＜0時，等差數列中的數隨項數的減少而減小；d＝0時，等差數列中的數等於乙個常數．
⑽設a，a，a為等差數列中的三項，且a與a，a與a的項距差之比=（≠－1），則a=．
4．等差數列前n項和公式s=與s= na＋的比較
5．等差數列前n項和公式s的基本性質
⑴數列為等差數列的充要條件是：數列的前n項和s可以寫成s= an+ bn的形式(其中a、b為常數)．
⑵在等差數列中，當項數為2n (nn)時，s－s= nd， =；當項數為(2n－1) (n)時，s－s= a， =．
⑶若數列為等差數列，則s，s－s，s－s，…仍然成等差數列，公差為．
⑷若兩個等差數列、的前n項和分別是s、t (n為奇數)，則=．
⑸在等差數列中，s= a，s= b (n＞m)，則s= (a－b)．
⑹等差數列中，是n的一次函式，且點（n，）均在直線y =x + (a－)上．
⑺記等差數列的前n項和為s．①若a＞0，公差d＜0，則當a≥0且a≤0時，s最大；②若a＜0 ，公差d＞0，則當a≤0且a≥0時，s最小．
第三部分：等比數列
1．正確理解等比數列的含義
⑴q是指從第2項起每一項與前一項的比，順序不要錯，即q = (n)或q = (n≥2)．
⑵由定義可知，等比數列的任意一項都不為0，因而公比q也不為0．
⑶要證明乙個數列是等比數列，必須對任意n， = q；或= q (n≥2)都成立．
2．等比中項與等差中項的主要區別
如果g是a與b的等比中項，那麼=，即g= ab，g =±．所以，只要兩個同號的數才有等比中項，而且等比中項有兩個，它們互為相反數；如果a是a與b的等差中項，那麼等差中項a唯一地表示為a=，其中，a與b沒有同號的限制．在這裡，等差中項與等比中項既有數量上的差異，又有限制條件的不同．
3．等比數列的基本性質
⑴公比為q的等比數列，從中取出等距離的項，構成乙個新數列，此數列仍是等比數列，其公比為q ( m為等距離的項數之差)．
⑵對任何m、n，在等比數列中有：a= a· q，特別地，當m = 1時，便得等比數列的通項公式，此式較等比數列的通項公式更具有普遍性．
⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (兩邊的自然數個數相等)，那麼當為等比數列時，有：a．a．a．… = a．a．a．… ．．
⑷若是公比為q的等比數列，則、、、{}也是等比數列，其公比分別為| q |}、、、{}．
⑸如果是等比數列，公比為q，那麼，a，a，a，…，a，…是以q為公比的等比數列．
⑹如果是等比數列，那麼對任意在n，都有a·a= a·q＞0．
⑺兩個等比數列各對應項的積組成的數列仍是等比數列，且公比等於這兩個數列的公比的積．
⑻當q＞1且a＞0或0＜q＜1且a＜0時，等比數列為遞增數列；當a＞0且0＜q＜1或a＜0且q＞1時，等比數列為遞減數列；當q = 1時，等比數列為常數列；當q＜0時，等比數列為擺動數列．
4．等比數列前n項和公式s的基本性質
⑴如果數列是公比為q 的等比數列，那麼，它的前n項和公式是s=
也就是說，公比為q的等比數列的前n項和公式是q的分段函式的一系列函式值，分段的界限是在q = 1處．因此，使用等比數列的前n項和公式，必須要弄清公比q是可能等於1還是必不等於1，如果q可能等於1，則需分q = 1和q≠1進行討論．
⑵當已知a，q，n時，用公式s=；當已知a，q，a時，用公式s=．
⑶若s是以q為公比的等比數列，則有s= s＋qs．⑵
⑷若數列為等比數列，則s，s－s，s－s，…仍然成等比數列．
⑸若項數為3n的等比數列(q≠－1)前n項和與前n項積分別為s與t，次n項和與次n項積分別為s與t，最後n項和與n項積分別為s與t，則s，s，s成等比數列，t，t，t亦成等比數列．
第四部分：難點突破
1．並不是所有的數列都有通項公式，乙個數列有通項公式在形式上也不一定唯一．已知乙個數列的前幾項，這個數列的通項公式更不是唯一的．
2．等差(比)數列的定義中有兩個要點：一是「從第2項起」，二是「每一項與它前一項的差(比)等於同乙個常數」．這裡的「從第2項起」是為了使每一項與它前面一項都確實存在，而「同乙個常數」則是保證至少含有3項．所以，乙個數列是等差(比)數列的必要非充分條件是這個數列至少含有3項．
3．數列的表示方法應注意的兩個問題：⑴與a是不同的，前者表示數列a，a，…，a，…，而後者僅表示這個數列的第n項；⑵數列a，a，…，a，…，與集合不同，差別有兩點：數列是一列有序排布的數，而集合是乙個有確定範圍的整體；數列的項有明確的順序性，而集合的元素間沒有順序性．
4．注意設元的技巧時，等比數列的奇數個項與偶數個項有區別，即：
⑴對連續奇數個項的等比數列，若已知其積為s，則通常設…，aq， aq， a，aq，aq，…；
⑵對連續偶數個項同號的等比數列，若已知其積為s，則通常設…，aq， aq， aq，aq，…．
5．乙個數列為等比數列的必要條件是該數列各項均不為0，因此，在研究等比數列時，要注意a≠0，因為當a= 0時，雖有a= a· a成立，但不是等比數列，即「b= a · c」是a、b、 c成等比數列的必要非充分條件；對比等差數列，「2b = a + c」是a、b、 c成等差數列的充要條件，這一點同學們要分清．
6．由等比數列定義知，等比數列各項均不為0，因此，判斷一數列是否成等比數列，首先要注意特殊情況「0」．等比數列的前n項和公式蘊含著分類討論思想，需分分q = 1和q≠1進行分類討論，在具體運用公式時，常常因考慮不周而出錯．
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