數列概念
知識清單
1．數列的概念
（1）數列定義：按一定次序排列的一列數叫做數列；
數列中的每個數都叫這個數列的項。記作，在數列第乙個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，……，序號為的項叫第項（也叫通項）記作；
數列的一般形式簡記作。
（2）通項公式的定義：如果數列的第n項與n之間的關係可以用乙個公式表示，那麼這個公式就叫這個數列的通項公式。
例如，數列①的通項公式是=（7，），
數列②的通項公式是=（）。
說明：①表示數列，表示數列中的第項， =表示數列的通項公式；
② 同乙個數列的通項公式的形式不一定唯一。例如不是每個數列都有通項公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……
（3）數列的函式特徵與圖象表示：
序號：1 2 3 4 5 6
項 ：4 5 6 7 8 9
上面每一項序號與這一項的對應關係可看成是乙個序號集合到另乙個數集的對映。從函式觀點看，數列實質上是定義域為正整數集（或它的有限子集）的函式當自變數從1開始依次取值時對應的一系列函式值……，，……．通常用來代替，其圖象是一群孤立點。
（4）數列分類：①按數列項數是有限還是無限分：有窮數列和無窮數列；②按數列項與項之間的大小關係分：單調數列（遞增數列、遞減數列）、常數列和擺動數列。
（5）遞推公式定義：如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關係可以用乙個公式來表示，那麼這個公式就叫做這個數列的遞推公式。
（6） 數列{}的前項和與通項的關係：
課前預習
1．根據數列前4項，寫出它的通項公式：
（1）1，3，5，7……；
（2），，，；
（3），，，。
2．數列中，已知，
（1）寫出，，；
（2）是否是數列中的項？若是，是第幾項？
3．如圖,一粒子在區域上運動,在第一秒內它從原點運動到點,接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運動，且每秒移動乙個單位長度。
（1）設粒子從原點到達點時，所經過的時間分別為，試寫出的通相公式；
（2）求粒子從原點運動到點時所需的時間；
（3）粒子從原點開始運動，求經過2004秒後，它所處的座標。
4．（1）已知數列適合：， ，寫出前五項並寫出其通項公式；
（2）用上面的數列，通過等式構造新數列，寫出，並寫出的前5項。
5．設平面內有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用表示這條直線交點的個數，則當時用表示）。
6．在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統計資料如下表.觀察表中資料的特點，用適當的數填入表中空白（_____）內。
知識清單
1、等差數列定義：一般地，如果乙個數列從第項起，每一項與它的前一項的差等於同乙個常數，那麼這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。
2、等差數列的通項公式：；
說明：等差數列（通常可稱為數列）的單調性： 為遞增數列，為常數列， 為遞減數列。
3、等差中項的概念：
定義：如果，，成等差數列，那麼叫做與的等差中項。其中成等差數列。
4、等差數列的前和的求和公式：。
5、等差數列的性質：
（1）在等差數列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；
（2）在等差數列中，相隔等距離的項組成的數列是，
如（3）在等差數列中，對任意，，， ；
（4）在等差數列中，若，，，且，則；
說明：設數列是等差數列，且公差為，
（ⅰ）若項數為偶數，設共有項，則①奇偶； ②；
（ⅱ）若項數為奇數，設共有項，則①偶奇；②。
6、數列最值
（1），時，有最大值；，時，有最小值；
（2）最值的求法：①若已知，可用二次函式最值的求法（）；②若已知，則最值時的值（）可如下確定或。
課前預習
1．設sn是數列的前n項和，且sn=n2，則是（ ）
a.等比數列，但不是等差數列b.等差數列，但不是等比數列
c.等差數列，而且也是等比數列d.既非等比數列又非等差數列
2．設是公差為正數的等差數列，若，，則（ ）
abcd．
3．若乙個等差數列前3項的和為34，最後3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數列有（ ）
a.13項b.12項c.11項d.10項
4．設數列是遞增等差數列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ）
a.1b.2c.4d.6
5．（06全國ii）設sn是等差數列｛an｝的前n項和，若＝，則＝
abcd．
6．（00全國）設｛an｝為等差數列，sn為數列｛an｝的前n項和，已知s7＝7，s15＝75，tn為數列｛｝的前n項和，求tn。
7．（98全國）已知數列｛bn｝是等差數列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.
（ⅰ）求數列｛bn｝的通項bn；
（ⅱ）設數列｛an｝的通項an=lg（1+），記sn是數列｛an｝的前n項和，試比較sn與lgbn+1的大小，並證明你的結論。
8．（02上海）設｛an｝（n∈n*）是等差數列，sn是其前n項的和，且s5＜s6，s6＝s7＞s8，則下列結論錯誤的是（ ）
a.d＜0 b.a7＝0c.s9＞s5d.s6與s7均為sn的最大值
9．（94全國）等差數列的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（ ）
a.130b.170c.210d.260
知識清單
1．等比數列定義
一般地，如果乙個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等於同乙個常數，那麼這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母表示，即：：數列對於數列（1）（2）（3）都是等比數列，它們的公比依次是2，5，。（注意：
「從第二項起」、「常數」、等比數列的公比和項都不為零）
2．等比數列通項公式為：。
說明：（1）由等比數列的通項公式可以知道：當公比時該數列既是等比數列也是等差數列；（2）等比數列的通項公式知：若為等比數列，則。
3．等比中項
如果在中間插入乙個數，使成等比數列，那麼叫做的等比中項（兩個符號相同的非零實數，都有兩個等比中項）。
4．等比數列前n項和公式
一般地，設等比數列的前n項和是，當時， 或；當q=1時，（錯位相減法）。
說明：（1）和各已知三個可求第四個；（2）注意求和公式中是，通項公式中是不要混淆；（3）應用求和公式時，必要時應討論的情況。
5．等比數列的性質
①等比數列任意兩項間的關係：如果是等比數列的第項，是等差數列的第項，且，公比為，則有；
②對於等比數列，若，則，也就是：，如圖所示：。
③若數列是等比數列，是其前n項的和，，那麼，，成等比數列。
如下圖所示：
課前預習
1．在等比數列中, ,則
2．和的等比中項為( ) .
3． 在等比數列中，，，求，
4．在等比數列中,和是方程的兩個根,則( )
5. 在等比數列，已知，，求.
6．在等比數列中, ,前項和為,若數列也是等比數列，則等於（ ）
abcd．
7．設，則等於（ ）
a． b． c． d．
8．設等比數列｛an｝的前n項和為sn，若s3＋s6＝2s9，求數列的公比q；
9．在各項都為正數的等比數列中，首項a1＝3，前三項和為21，則a3＋a4＋a5＝（ ）
（a）33 （b）72 （c）84 （d）189
知識清單
1．數列求通項與和
（1）數列前n項和sn與通項an的關係式：an= 。
（2）求通項常用方法
①作新數列法。作等差數列與等比數列；
②累差疊加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1；
③歸納、猜想法。
（3）數列前n項和
①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)；
12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)；
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2；
②等差數列中，**+n=**+sn+mnd；
③等比數列中，**+n=sn+qn**=**+qmsn；
④裂項求和
將數列的通項分成兩個式子的代數和，即an=f(n+1)－f(n)，然後累加抵消掉中間的許多項，這種先裂後消的求和法叫裂項求和法。用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項，如：、=－、n·n！
=(n+1)!－n!、**－1r－1=**r－**－1r、=－等。
⑤錯項相消法
對乙個由等差數列及等比數列對應項之積組成的數列的前n項和，常用錯項相消法。, 其中是等差數列，是等比數列，記，則，…
⑥併項求和
把數列的某些項放在一起先求和，然後再求sn。
數列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。
⑦通項分解法：
2．遞迴數列
數列的連續若干項滿足的等量關係an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)稱為數列的遞迴關係。由遞迴關係及k個初始值可以確定的乙個數列叫做遞迴數列。如由an+1=2an+1，及a1=1，確定的數列即為遞迴數列。
遞迴數列的通項的求法一般說來有以下幾種：
（1）歸納、猜想、數學歸納法證明。
（2）迭代法。
（3）代換法。包括代數代換，對數代數，三角代數。
（4）作新數列法。最常見的是作成等差數列或等比數列來解決問題。
課前預習
1．已知數列為等差數列，且公差不為0，首項也不為0，求和：。
2．求。
3．設a為常數，求數列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n項和。
4．已知，數列是首項為a，公比也為a的等比數列，令，求數列的前項和。
高中數學數列總結 全
數列基礎知識點和方法歸納 1.等差數列的定義與性質 定義 為常數 等差中項 成等差數列 前項和性質 是等差數列 1 若，則 2 數列仍為等差數列，仍為等差數列，公差為 3 若三個成等差數列，可設為 4 若是等差數列，且前項和分別為，則 5 為等差數列 為常數，是關於的常數項為0的二次函式 的最值可求...
高中數學數列方法大總結
一 等差數列與等比數列 二 等差數列的性質 若等差等差數列的前項和為，在時，有最大值.如何確定使取最大值時的值，有兩種方法 一是求使，成立的值 二是由利用二次函式的性質求的值.數列的項數為2，則 若等差數列的項數為，則，且，若等差數列 的前和分別為 則 如設 與 是兩個等差數列，它們的前項和分別為和...
高中數學數列經典教案
數列教案 一 數列的概念 1 數列定義 按一定次序排列的一列數叫做數列 數列中的每個數都叫這個數列的項。記作，在數列第乙個位置的項叫第1項 或首項 在第二個位置的叫第2項，序號為的項叫第項 也叫通項 記作 數列的一般形式簡記作。例 判斷下列各組元素能否構成數列 1 a,3,1,1,b,5,7,9 2...