數列經典綜合題
等差數列與等比數列綜合題
例1 等比數列{}的前n 項和為，已知,,成等差數列
（1）求{}的公比q；
（2）求－＝3，求
解：（ⅰ）依題意有
由於 ，故
又，從而
（ⅱ）由已知可得故
從而例2 在正項數列中,令.
（ⅰ）若是首項為25,公差為2的等差數列,求；
（ⅱ）若（為正常數）對正整數恆成立,求證為等差數列；
（ⅰ）解：由題意得,,所以=
（ⅱ）證:令,,則=1
所以=（1）,
=（2）,
（2）—（1）,得—=,
化簡得（3）
（4）,（4）—（3）得
在（3）中令,得,從而為等差數列
例3 已知{}是公比為q的等比數列，且成等差數列.
（1）求q的值；
（2）設數列的前項和為，試判斷是否成等差數列？說明理由.
解：（1）依題意，得2am+2 = am+1 + am
∴2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1
在等比數列中，a1≠0，q≠0，
∴2q2 = q +1，解得q = 1或
（2）若q = 1， ** + **+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1，** + 2 = (m+2) a1
∵a1≠0，∴2**+2≠s m + **+1
若q =，** + 1 =
** + **+1 = =
∴2 **+2 = s m + **+1
故當q = 1時，** , **+2 , **+1不成等差數列；
當q =時，** , **+2 , **+1成等差數列.
例4 已知數列｛an｝的首項（a是常數），（）．（ⅰ）是否可能是等差數列.若可能，求出的通項公式；若不可能，說明理由；
（ⅱ）設，（），為數列的前n項和，且
是等比數列，求實數a、b滿足的條件．
解：（ⅰ）∵
∴若是等差數列，則但由，得a=0,矛盾.
∴不可能是等差數列
n≥2)
∴當a≠－1時, 從第2項起是以2為公比的等比數列
∴n≥2時,
∴是等比數列, ∴(n≥2)是常數 ∵a≠-1時, ∴b-2a-2=0 當a=-1時，
（n≥3）,得（n≥2） ∴
∵是等比數列 ∴b≠0
綜上, 是等比數列,實數a、b所滿足的條件為
例5 設數列的前n項和為sn，且滿足sn=2-an，n=1，2，3，….
(ⅰ)求數列的通項公式；
(ⅱ)若數列滿足b1=1，且bn+1=bn+an，求數列的通項公式；
(ⅲ)設**=n(3-bn)，求數列的前n項和tn.
解：(ⅰ)∵n=1時，a1+s1=a1+a1=2
∴a1=1
∵sn=2-an即an+sn=2 ∴an+1+sn+1=2
兩式相減：an+1-an+sn+1-sn=0
即an+1-an+an+1=0故有2an+1=an
∵an≠0 ∴(n∈n*)
所以，數列為首項a1=1，公比為的等比數列.an=(n∈n*)
(ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…)
∴bn+1-bn=()n-1
得b2-b1=1
b3-b2=
b4-b3=()2
……bn-bn-1=()n-2(n=2，3，…)
將這n-1個等式相加，得
bn-b1=1+
又∵b1=1，∴bn=3-2()n-1(n=1，2，3，…)
(ⅲ)∵**=n(3-bn)=2n()n-1
∴tn=2[()0+2()+3()2+…+(n-1)()n-2+n()n-1] ①
而 tn=2[()+2()2+3()3+…+(n-1)] ②
①-②得：
tn==8-(8+4n)(n=1，2，3，…)
例6 已知數列中，，且對時
有．（ⅰ）設數列滿足，證明數列為等比數列，並求數列的通項公式；
（ⅱ）記，求數列的前n項和
（ⅰ） 證明：由條件，得，
則．即，所以，．
所以是首項為2，公比為2的等比數列．
，所以．
兩邊同除以，可得．
於是為以首項，－為公差的等差數列．
所以．（ⅱ），令，則．
而．∴． ，∴．
令tn則2tn＝． ②
①－②，得tn＝，tn＝．
∴．例7 設數列滿足且
（ⅰ）求的值，使得數列為等比數列；
（ⅱ）求數列和的通項公式；
（ⅲ）令數列和的前項和分別為和，求極限的值．
（ⅰ）令，其中為常數，若為等比數列，則存在使得．又．
所以．由此得
由及已知遞推式可求得，把它們代入上式後得方程組
消去解得．
下面驗證當時，數列為等比數列．
，，從而是公比為的等比數列．
同理可知是公比為的等比數列，於是為所求．
（ⅱ）由（ⅰ）的結果得，，解得
，．（ⅲ）令數列的通項公式為，它是公比為的等比數列，令其前項和為；
令數列的通項公式為，它是公比為的等比數列，令其前項和為．
由第（ⅱ）問得，．
．由於數列的公比，則．
，由於，則，
於是，所以
例8 數列的各項均為正數，為其前項和，對於任意，總有成等差數列.
(ⅰ)求數列的通項公式；
(ⅱ)設數列的前項和為 ，且，求證:對任意實數（是常數，＝2.71828）和任意正整數，總有 2；
(ⅲ) 正數數列中，.求數列中的最大項.
（ⅰ）解：由已知：對於，總有 ①成立
∴ （n ≥ 2）②
①--②得
∴∵均為正數，∴ （n ≥ 2）
∴數列是公差為1的等差數列
又n=1時，， 解得=1
∴.()
（ⅱ）證明：∵對任意實數和任意正整數n，總有≤. ∴
(ⅲ)解：由已知
易得猜想 n≥2 時，是遞減數列. 令∵當
∴在內為單調遞減函式.
由.∴n≥2 時, 是遞減數列.即是遞減數列.
又 , ∴數列中的最大項為.
例9 設是公差不為零的等差數列，為其前項和，滿足。
（1）求數列的通項公式及前項和；
（2）試求所有的正整數，使得為數列中的項。
解：（1）設公差為，則，由性質得，因為，所以，即，又由得，解得，,
(2) （方法一）=,設，
則=, 所以為8的約數
（方法二）因為為數列中的項，
故為整數，又由（1）知：為奇數，所以
經檢驗，符合題意的正整數只有。
例10 已知是公差為的等差數列，是公比為的等比數列。
（1） 若，是否存在，有說明理由；
（2） 找出所有數列和，使對一切,,並說明理由；
（3） 若試確定所有的，使數列中存在某個連續項的和是數列中的一項，請證明。
解：（1）由，得
整理後，可得，、，為整數，
不存在、，使等式成立
（2）若，即
（ⅰ）若則。
當{}為非零常數列，{}為恆等於1的常數列，滿足要求
（ⅱ）若，（*）式等號左邊取極限得，（*）式等號右邊的極限只有當時，才能等於1。此時等號左邊是常數，，矛盾。
綜上所述，只有當{}為非零常數列，{}為恆等於1的常數列，滿足要求。
（3） 設.，
取由二項展開式可得正整數m1、m2，使得（4-1）2s+2=4m1+1,
故當且僅當p=3s,sn時，命題成立.
2、點列綜合題
例11 設曲線上的點為過p0作曲線c的切線與x軸交於q1，過q1作平行於y軸的直線與曲線c交於，然後再過p1作曲線c的切線交x軸於q2，過q2作平行於y軸的直線與曲線c交於，依此類推，作出以下各點：p0，q1，p1，q2，p2，q3，…pn，qn+1…，已知，設
（1）求出過點p0的切線方程；
（2）設求的表示式；
（3）設求
解：（1） ∴過點p0的切線段為即
（2） ∴過點pn的切線方程為
將的座標代入方程得：
故數列是首項為的等比數列
（3）例12 已知點滿足：，且已知
（1）求過點的直線的方程；
（2）判斷點與直線的位置關係，並證明你的結論；
（3）求點的極限位置。
解：（1）由，得：
顯然直線的方程為
（2）由，得：
∴點，猜想點在直線上，以下用數學歸納法證明：
當n＝2時，點
假設當時，點，即
當時，∴點綜上，點
（3）由，得：
∴數列是以為首項，公差為1的等差數列
即點的極限位置為點p（0，1）
例13 如圖，是曲線
上的個點，點在軸的正半軸上，是正三角形(是座標原點) .(ⅰ) 寫出；
(ⅱ)求出點的橫座標關於的表示式；
(ⅲ)設，若對任意正整數，當時，不等式恆成立，求實數的取值範圍.
. 解：(ⅰ) .
(ⅱ)依題意，則
，… 3分
在正三角形中，有 ..
，同理可得
①-②並變形得
，∴數列是以為首項，公差為的等差數列.7分，
.(ⅲ)解法1 ：∵， ∴..
∴當時，上式恒為負值，
∴當時，，
∴數列是遞減數列
的最大值為.
若對任意正整數，當時，不等式恆成立，則不等式在時恆成立，即不等式在時恆成立.
設，則且，
∴解之，得或，
即的取值範圍是.
例14 △abc中，|ab|=|ac|=1，，p1為ab邊上的一點，，從p1向bc作垂線，垂足是q1；從q1向ca作垂線，垂足是r1；從r1向ab作垂線，垂足是p2，再由p2開始重複上述作法，依次得q2，r2，p3；q3，r3，p4……
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