1、數列的概念：
（1）已知，則在數列的最大項為 （答：）
（2）數列的通項為，其中均為正數，則與的大小關係為 （答： ）；
（3）已知數列中，，且是遞增數列，求實數的取值範圍（答：）；
2.等差數列的有關概念：
一、複習目標
1．理解等差數列的概念和性質；
2．掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，並能用公式解決簡單問題
二、知識網路
1．定義：
2．通項公式：，推廣：
d=，d=是點列（n，an）所在直線的斜率.
3．前n項的和：
變式： =
4．等差中項：若a、b、c等差數列，則b為a與c的等差中項:2b=a+c
5．性質:設是等差數列，公差為d,則
(1)m+n=p+q,則am+an=ap+aq
(2) an,an+m,an+2m……組成公差為md的等差數列.
(3) sn, s2n-sn, s3n-s2n……組成公差為n2d的等差數列.
(4)當n=2k-1為奇數時，sn=nak；s奇=kak，s偶=(k-1)ak (ak=a中)
6．等差數列的判定方法(n∈n*)
(1)定義法: an+1-an=d是常數 (2)等差中項法:
(3)通項法: (4)前n項和法:
7．知三求二, 可考慮統一轉化為兩個基本量;或利用數列性質,
三數:, 四數
8.會從函式角度理解和處理數列問題.
三、練練手
1.（2006全國ⅱ）設是等差數列的前項和，若，則( )
（abcd）
2. (2006廣東) 已知等差數列共有10項，其中奇數項之和15，偶數項之和為30，則其公差是
a 5 b 4 c 3 d 2
3.等差數列中，a10＜0，a11＞0且a11＞|a10|，sn為其前n項和，則
a. s10小於0，s11大於0 b. s19小於0，s20大於0
c. s5小於0，s6大於0 d. s20小於0，s21大於0
4.(2006天津)已知數列、都是公差為1的等差數列，其首項分別為、，且，、．設（），則數列的前10項和等於
a．55b．70c．85d．100
5.等差數列的前n項和記為sn，若a2+a4+a15=p是一常數，則s13=
6.在等差數列中,已知,則n= .
簡答:1-4.acbc; 3. a11＞|a10|=－a10，∴a10+a11=a1+a20＞0.
∴s20=10（a1+a20）＞0.選 b
4. 5. a2+a4+a15=p（常數），∴3a1+18d=p，即a7=p.
∴s13==13a7=p.
6.設首項為,公差為,則
四、經典例題
【例1】(1)若乙個等差數列前3項和為34,後3項和為146,且所有項的和為390,
求這個數列項數.
(2)等差數列的前10項的和前100項的和,求前110項的和
解(1)
,(2)分析一:方程的思想,將題目條件應用公式表示成關於首項與公差的兩個方程.
解法一:設的首項為,公差,則
分析二:運用前n項和變式:
解法二:為等差數列,故可設,
則解法三：
方法提煉:本題是等差數列的基本計算,要求熟練準確.
題(1)利用了等差數列的性質和前sn公式的特點;
題(2)法一:轉化為兩個基本量,是重要的方法;法二利用了前n項和公式的函式式特徵.
【例2】數列的前n項和為sn=npan（n∈n*）且a1≠a2，
（1）求常數p的值；
（2）證明：數列是等差數列.
分析：（1）注意討論p的所有可能值.
（2）運用公式an= 求an.
解：（1）當n=1時，a1=pa1，若p=1時，a1+a2=2pa2=2a2，
∴a1=a2，與已知矛盾，故p≠1.則a1=0.
當n=2時，a1+a2=2pa2，∴（2p－1）a2=0.
∵a1≠a2，故p=.
（2）由已知sn=nan，a1=0.
n≥2時，an=sn－sn－1=nan－（n－1）an－1.
∴=.則=，…， =.(n≥3)
∴=n－1.∴an=（n－1）a2， an－an－1=a2. (n≥3)
又a2-a1=a2,所以從第二項起每項減去前項的差是同一常數.
故是以a2為公差，以a1為首項的等差數列.
提煉拓展: 證明等差數列的方法:1.由定義an-an-1=d, 2.等差中項,3.通項公式an=pn+q,4.sn=pn2=qn
例3．已知兩個等差數列5，8，11，…和3，7，11…都有100項，問它們有多少相同的項？並求出所相同項的和。
分析一：兩個等差數列的相同的項按原來的先後次序組成乙個等差數列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數。
解：設兩個數列相同項按原來的前後次序組成的新數列為，則
∵數列5，8，11，…和3，7，11…的公差分別為3與4
又因為數列5，8，11，…和3，7，11…的第100項分別是302和399，所以兩個數列有25個相同的項。
其和分析二：由條件可知兩個等差數列的通項公式，可用不定方程的求解法來求解。
解：設數列5，8，11，…和3，7，11…分別為
設中的第n項與中的第m項相同，即
根據題意得：
從而有25個相同的項，且公差為12，其和
(另法:由m=3r知第r個相同的項為b3r=12r-1…)
方法提煉：法1:設兩數列中an=bm,求出n(或m)應滿足的關係,再代回an(或bm)
法2:兩等差數列中相同的項成等差數列,且公差是兩等差數列公差的最小公倍數.
例4、等差數列中，前m項的和為77（m為奇數），其中偶數項的和為33，且a1-am=18，求這個數列的通項公式。
解法1:由已知
又,兩式相除得,
從而由②得：a1+a7=22, 又已知 a1-a7=18,可解得 a1=20,a7=2.
公差d=-3, an=-3n+23.
解法2:利用前奇數項和與中項的關係
令m=2n-1，n∈n+
則 ∴, n=4, m=7, an=11
∴ a1+am=2an=22, 又a1-am=18
∴ a1=20，am=2
∴ d=-3
∴ an=-3n+23
提煉拓展；利用求和公式和性質；轉化為兩個基本量行嗎？行．
【欣賞】 已知數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列；是公差為的等差數列；是公差為的等差數列（）. （1）若，求；
（2）試寫出關於的關係式，並求的取值範圍；
（3）續寫已知數列，使得是公差為的等差數列，……，依次類推，把已知數列推廣為無窮數列.
[解]（1）.
（2），
，當時，.
（3）所給數列可推廣為無窮數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列，當時，數列是公差為的等差數列.
解題回顧：方法是基本的——轉化為基本量,利用通項公式.題(3)考查模擬的能力.
五．總結
1.等差數列的概念和性質，證明數列是等差數列的方法：
2.等差數列的通項公式與前n項和公式的求法與應用;
五個元素a1，an，n，d，sn中知三，可求另兩個.
3.思想.方法 :轉化為基本量,利用性質,方程的思想,
同步練習
等差數列
【選擇題】
1.在等差數列中,am=n,an=m,則am+n的值為
（a）m+n （b） （cd）0
2. (2006全國ⅰ)設是公差為正數的等差數列，若，，則
abcd
3.如果，，…，為各項都大於零的等差數列，公差，則
（a）（b）（c）++（d）=
4.（2004重慶）若數列是等差數列，首項，則使前n項和成立的最大自然數n是
a 4005 b 4006 c 4007 d 40084．
【填空題】
5.（2005天津）在數列中,a1=1,a2=2,且則s100=__
6.（2003全國）已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四個根組成乙個首項為的等差數列，則|m－n|=
簡答.提示：1-4.
dbbb; 5.2600; 6.設4個根分別為x1、x2、x3、x4，則x1+x2=2，x3+x4=2∵m+n=p+q時，am+an=ap+aq.
設x1為第一項，x2必為第4項，可得數列為，，，，∴m=，n=.∴|m－n|=.
【解答題】
7.如果乙個等差數列的前12項和為354，前12項中偶數項的和與奇數項的和之比為32:27，求公差；
分析：等差數列的奇數項成等差數列，偶數項也成等差數列，等差數列中通項公式和前n項和公式中五個量，只要知道其中三個，就可以求其它兩個，而是基本量
解：設等差數列首項為，公差為d，則
8.項數為奇數的等差數列，奇數項之和為44，偶數項之和為33，求這個數列的中間項及項數
解：設數列共2m+1 （m∈n*）把該數列記為｛an｝
依題意a1+a3+……+a2m+1=44 且a2+a4+……+a2m=33
即 (a2+a2m)=33 （1）
(a1+a2m)=44 （2
（1）÷（2）得 ∴m = 3代入（1）得a2+a2m = 22
∴am+1==11
即該數列有7項，中間項為11
9.已知數列的前n項和sn=n2-2n，bn=，
證明:數列是等差數列.
證明:sn=n2－2n，a1=s1=－1.
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