知識點1：等差數列及其前n項
1．等差數列的定義
2．等差數列的通項公式
如果等差數列的首項為a1，公差為d，那麼它的通項公式an＝a1＋(n－1)d .
3．等差中項
如果 a＝ ，那麼a叫做a與b的等差中項．
4．等差數列的常用性質
(1)通項公式的推廣：an＝am＋（n-m）d，(n，m∈n*)．
(2)若為等差數列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈n*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若是等差數列，公差為d，則也是等差數列，公差為2d.
(4)若，是等差數列，則也是等差數列．
(5)若是等差數列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈n*)是公差為md的等差數列．
5．等差數列的前n項和公式
設等差數列的公差d，其前n項和sn＝或sn＝na1＋d.
6．等差數列的前n項和公式與函式的關係
sn＝n2＋n.數列是等差數列sn＝an2＋bn，(a、b為常數)．
7．等差數列的最值
在等差數列中，a1>0，d<0，則sn存在最大值；若a1<0，d>0，則sn存在最小值．
[難點正本疑點清源]
1．等差數列的判定
(1)定義法：an－an－1＝d (n≥2)；
(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2.
2．等差數列與等差數列各項和的有關性質
(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差數列，公差為kd.
(2)數列**，s2m－**，s3m－s2m，…也是等差數列．
(3)s2n－1＝(2n－1)an.
(4)若n為偶數，則s偶－s奇＝d.
若n為奇數，則s奇－s偶＝a中(中間項)．
例1（等差數列的判定或證明）：已知數列中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈n*)，數列滿足bn＝(n∈n*)．
(1)求證：數列是等差數列；
(2)求數列中的最大項和最小項，並說明理由．
(1)證明 ∵an＝2－(n≥2，n∈n*)，bn＝.
∴n≥2時，bn－bn－1＝－
＝－＝－＝1.
∴數列是以－為首項，1為公差的等差數列．
(2)解由(1)知，bn＝n－，則an＝1＋＝1＋，
設函式f(x)＝1＋，
易知f(x)在區間和內為減函式．
∴當n＝3時，an取得最小值－1；當n＝4時，an取得最大值3.
例2（等差數列的基本量的計算）設a1，d為實數，首項為a1，公差為d的等差數列的前n項和為sn，滿足s5s6＋15＝0.
(1)若s5＝5，求s6及a1
(2)求d的取值範圍．
解 (1)由題意知s6＝＝－3，a6＝s6－s5＝－8.
所以解得a1＝7，所以s6＝－3，a1＝7.
(2)方法一 ∵s5s6＋15＝0，
∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.
因為關於a1的一元二次方程有解，所以
δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，
解得d≤－2或d≥2.
方法二 ∵s5s6＋15＝0，
∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
9da1＋10d2＋1＝0.
故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.
故d的取值範圍為d≤－2或d≥2.
例3（前n項和及綜合應用）(1)在等差數列中，已知a1＝20，前n項和為sn，且s10＝s15，求當n取何值時，sn取得最大值，並求出它的最大值；
(2)已知數列的通項公式是an＝4n－25，求數列的前n項和．
解方法一 ∵a1＝20，s10＝s15，
∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.
∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.
∴a13＝0，即當n≤12時，an>0，n≥14時，an<0，
∴當n＝12或13時，sn取得最大值，且最大值為s13＝s12＝12×20＋×＝130.
方法二同方法一求得d＝－.
∴sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－2＋.
∵n∈n*，∴當n＝12或13時，sn有最大值，且最大值為s12＝s13＝130.
(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，
∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.
所以數列是以－21為首項，以4為公差的遞增的等差數列．
令由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6. 即數列的前6項是以21為首項，公差為－4的等差數列，從第7項起以後各項構成公差為4的等差數列，
而|a7|＝a7＝4×7－24＝3.
設的前n項和為tn，則
tn＝＝
例4，已知某等差數列共有10項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差為 3
例5等差數列的前n項和分別為，且,則使得為正整數的正整數n的個數是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）
已知遞推關係求通項：這類問題的要求不高，但試題難度較難把握.一般有三常見思路：
(1)算出前幾項，再歸納、猜想；
(2)「an+1=pan+q」這種形式通常轉化為an+1+λ=p(an+λ),由待定係數法求出,再化為等比數列；
(3)逐差累加或累乘法.
例6 已知數列中，，當時，其前項和滿足，則數列的通項公式為
例7在數列中，，，則
知識點2：等比數列及其n項和
1．等比數列的定義
2．等比數列的通項公式
3．等比中項
若g2＝a·b (ab≠0)，那麼g叫做a與b的等比中項．
4．等比數列的常用性質
(1)通項公式的推廣：an＝anqn－m，(n，m∈n*)．
(2)若為等比數列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈n*)，則ak·al＝am·an.
(3)若，(項數相同)是等比數列，則(λ≠0)，
，，，仍是等比數列．
5．等比數列的前n項和公式
等比數列的公比為q(q≠0)，其前n項和為sn，
當q＝1時，sn＝na1；
當q≠1時，sn＝＝.
6．等比數列前n項和的性質
公比不為－1的等比數列的前n項和為sn，則sn，s2n－sn，s3n－s2n仍成等比數列，其公比為qn.
7. 等比數列的單調性
【難點】
1．等比數列的特徵
從等比數列的定義看，等比數列的任意項都是非零的，公比q也是非常數．
2．等比數列中的函式觀點
利用函式、方程的觀點和方法，揭示等比數列的特徵及基本量之間的關係．在借用指數函式討論單調性時，要特別注意首項和公比的大小．
3．等比數列的前n項和sn
(1)等比數列的前n項和sn是用錯位相減法求得的，注意這種思想方法在數列求和中的運用．
(2)等比數列的通項公式an＝a1qn－1及前n項和公式sn＝＝(q≠1)共涉及五個量a1，an，q，n，sn，知三求二，體現了方程的思想的應用．
(3)在使用等比數列的前n項和公式時，如果不確定q與1的關係，一般要用分類討論的思想，分公比q＝1和q≠1兩種情況．
例1：(1)在等比數列中，已知a6－a4＝24，a3a5＝64，求的前8項和s8；
(2)設等比數列的公比為q (q>0)，它的前n項和為40，前2n項和為3 280，且前n項中數值最大的項為27，求數列的第2n項．
(1)設數列的公比為q，
由通項公式an＝a1qn－1及已知條件得：
由②得a1q3＝±8.
將a1q3＝－8代入①式，得q2＝－2，無解將a1q3＝8代入①式，得q2＝4，∴q＝±2.，故捨去．
當q＝2時，a1＝1，∴s8＝＝255；
當q＝－2時，a1＝－1，∴s8＝＝85.
(2)若q＝1，則na1＝40,2na1＝3 280，矛盾．
∴q≠1，∴
得：1＋qn＝82，∴qn＝81
將③代入①得q＝1＋2a1
又∵q>0，∴q>1，∴a1>0，為遞增數列．
∴an＝a1qn－1＝27
由③、④、⑤得q＝3，a1＝1，n＝4.
∴a2n＝a8＝1×37＝2 187.
例2 已知數列的前n項和為sn，數列中，b1＝a1，bn＝
an－an－1 (n≥2)，且an＋sn＝n.
(1)設**＝an－1，求證：是等比數列；
(2)求數列的通項公式．
1)證明 ∵an＋sn＝n
∴an＋1＋sn＋1＝n＋1
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∴是等比數列．
∵首項c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，
∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.
又**＝an－1，
∴是以－為首項，為公比的等比數列．
(2)解由(1)可知**＝·n－1＝－n，
∴an＝**＋1＝1－n. ∴當n≥2時，bn＝an－an－1
＝1－n－＝n－1－n＝n.
又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.
例3 在等比數列中，(1)若已知a2＝4，a5＝－，求an；
(2)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
解 (1)設公比為q，則＝q3，即q3＝－，
∴q＝－，∴an＝a5·qn－5＝n－4.
(2)∵a3a4a5＝8，又a3a5＝a，∴a＝8，a4＝2.
∴a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.
例4已知數列滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈n*.
(1)令bn＝an＋1－an，證明：是等比數列；
(2)求的通項公式．
規範解答
(1)證明 b1＝a2－a1＝11分]
當n≥2時，bn＝an＋1－an＝－an
＝－(an－an－1)＝－bn－15分]
∴是首項為1，公比為－的等比數列6分]
(2)解由(1)知bn＝an＋1－an＝n－18分]
當n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－110分]
＝1＋1＋＋…＋n－2＝1＋
＝1＋＝－n－1當n＝1時，－1－1＝1＝a1，
∴an＝－n－1 (n∈n14分]
人教版高中數列知識點總結知識點例題
知識點1 等差數列及其前n項 1 等差數列的定義 2 等差數列的通項公式 如果等差數列的首項為a1，公差為d，那麼它的通項公式an a1 n 1 d 3 等差中項 如果 a 那麼a叫做a與b的等差中項 4 等差數列的常用性質 1 通項公式的推廣 an am n m d，n，m n 2 若為等差數列，...
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