高二數學國慶節作業（2）
數列求和專項訓練
1．已知等差數列的前項和為，且，成等比數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列的公差不為，數列滿足，求數列的前項和.
2．設數列的前項和為，若對於任意的正整數都有.
（1）設，求證：數列是等比數列，並求出的通項公式；
（2）求數列的前項和.
3．已知數列是公差不為零的等差數列，其前項和為，滿足，且恰為等比數列的前三項.
（1）求數列，的通項；
（2）設是數列的前項和，是否存在，使得成立若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
4．已知數列的前項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求滿足方程的值.
5．在數列中，，．
（1），求證數列是等比數列；
（2）求數列的通項公式及其前項和．
6．已知正項數列滿足且．
（i）證明數列為等差數列；
（ii）若記，求數列的前項和．
7．已知是等差數列，是等比數列，且，，，．
（1）求的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
8．已知數列中，，其前項和滿足，其中．
（1）求證：數列為等差數列，並求其通項公式；
（2）設，為數列的前項和．
①求的表示式；
②求使的的取值範圍．
課間輔導---數列求和
1．（1）；（2）.
試題解析：（1），即，化簡得或.
當時，，得或，
∴，即；
當時，由，得，即有.
（2）由題意可知，
∴①②，
①-②得：，
∴.考點：1.等差數列的綜合；2.等比數列的綜合；3.錯位相減法的運用.
2．（1）證明見解析，；（2）．
試題解析：（1）∵對於任意的正整數都成立，∴，
兩式相減，得，
∴，即，∴，
即對一切正整數都成立，∴數列是等比數列.
由已知得，即，∴，
∴首項，公比，∴.
（2）∵，∴，，
，∴.3．（1），；（2）不存在，使得成立.
試題解析：（1）設等差數列的公差為，
∴，聯立解得.
∴，∵，∴.
（2），
∴，∴，而是單調遞減的，∴，
而，∴不存在，使得成立.
4．（1）（2）
試題解析：（1）當時，，
當時，，，
∴，即∴.
（2），∴，，
∴，即，解得.
5．（1）由已知有，解得，故，
於是，即．
因此數列是首項為3，公比為2的等比數列．
（2）由（1）知，等比數列中，公比，
所以．於是，
因此數列是首項為，公差為的等差數列．
，所以，
所以．6．（i）證明見解析；（ii）．
試題分析：（i）將原式變形得，利用累乘法得：，是以為首項，以為公差的等差數列；（ii）由（i）知 ．
7．（1）；（2）．
試題分析：（1）易得，
；（2）由（1）知，
．8．（ⅰ）；（ⅱ）．
試題解析：（i）設等比數列的公比為，由題意知，且，
∴，解得，故．………………5分
（ii）由（i）得，所以．………………6分
∴，………………8分
故數列的前項和為
．………………12分
9．（1）證明見解析；（2）①；②，且．
（1）由已知，，即，
，∴數列是以為首項，公差為的等差數列，∴．
（2）∵，∴，
，①，②
①-②得：，
∴代入不等式得，即，
設，則，
∴在上單調遞減，
∵，∴當時，，當時，，
所以的取值範圍為，且．
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