一、選擇題部分
1．（2023年江蘇）已知數列的通項公式，則的最大項是（ b ）
2．（2006安徽初賽）正數列滿足，則 （ ）
a、98b、99c、100d、101
3. （2006吉林預賽）對於乙個有n項的數列p=(p1，p2，…，pn)，p的「蔡查羅和」定義為s1、s2、…sn、的算術平均值，其中sk=p1+p2+…pk(1≤k≤n)，若數列(p1，p2，…，p2006)的「蔡查羅和」為2007，那麼數列(1，p1，p2，…，p2006)的「蔡查羅和」為a ）
a. 2007 b. 2008 c. 2006 d. 1004
4．(集訓試題)已知數列滿足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n項之和為sn。則滿足不等式|sn-n-6|《的最小整數n是
a．5b．6c．7d．8
解：由遞推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，則是以8為首項，公比為-的等比數列，
∴sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)= =6-6×(-)n，∴|sn-n-6|=6×()n<，得：3n-1>250，∴滿足條件的最小整數n=7，故選c。
5．(集訓試題)給定數列，x1=1，且xn+1=，則
a．1 b．-1c．2+ d．-2+
解：xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+, x3=-2-, x4=-1, x5=-2+, x6=2-, x7=1，……，∴有。故選a。
6、（2006陝西賽區預賽）已知數列的前n項和分別為，記則數列{}的前10項和為c )
a . b. c. d.
7．（2023年浙江省預賽）設為正整數n（十進位制）的各數字上的數字的平方之和，比如
。記，，則＝
(a) 20 (b) 4 (c) 42 (d) 145d ）
解： 將記做，於是有
從16開始，是週期為8的週期數列。故正確答案為d。
二、填空題部分
1.數列的各項為正數,其前n項和滿足,則=______.
2．（200 6天津）已知都是偶數，且，，若成等差數列，成等比數列，則的值等於 194
3. （2006吉林預賽）如圖所示，在楊輝三角中斜線上方的數所組成的數列1，3，6，10，…，記這個數列前n項和為s(n)，則
4．（2023年江蘇）等比數列的首項為，公比．設表示這個數列的前項的積，則當 12 時，有最大值．
5. 在軸的正方向上，從左向右依次取點列，以及在第一象限內的拋物線上從左向右依次取點列，使（）都是等邊三角形，其中是座標原點，則第2005個等邊三角形的邊長是 2005。
【解】：設第n個等邊三角形的邊長為。則第n個等邊三角形的在拋物線上的頂點的座標為（，）。
再從第n個等邊三角形上，我們可得的縱座標為。從而有，即有。
由此可得 （1） , 以及 （2）
（1）－（2）即得 .
變形可得
由於，所以。在（1）式中取n ＝ 1，可得，而，故。
因此第2005個等邊三角形的邊長為。
6.(2023年浙江)已知數列，滿足, 且， 則=。
【解】：由，推出。因此有
.即有。 從而可得。
7. (2005全國)記集合將m中的元素按從大到小的順序排列，則第2005個數是（ ）
a． b． c． d．
解：用表示k位p進製數，將集合m中的每個數乘以，得
中的最大數為。在十進位制數中，從2400起從大到小順序排列的第2005個數是2400-2004=396。而將此數除以，便得m中的數故選c。
8．（2004 全國）已知數列滿足關係式，則的值是
解：設即故數列是公比為2的等比數列，。。
9．（2005四川）設為整數，集合中的數由小到大組成數列：，則 131 。
解：∵為整數且，∴最小取2，此時符合條件的數有
，可在中取，符合條件有的數有
同理，時，符合條件有的數有
時，符合條件有的數有
時，符合條件有的數有
時，符合條件有的數有
因此，是中的最小值，即
三、解答題部分
1．（200 6天津）已知數列滿足，，，其中是給定的實數，是正整數，試求的值，使得的值最小．
【解】令，由題設，有，且………5分於是，即．
10分又，，則．
∴當的值最小時，應有，，且．
即15分
由（※）式，得由於，且，解得，
∴當時，的值最小20分
2．（2006陝西賽區預賽）(20分)已知,設,記。
(1)求的表示式;
(2)定義正數數列。試求數列的通項公式。.
3．（2006安徽初賽）已知數列滿足，對於所有，有，求的通項公式．
4. （2006吉林預賽）設為乙個實數數列，a1=t，an+1=4an(1－an)。求有多少個不同的實數t使得a2006=0。 （ 22004+1）
5．（2023年南昌市）將等差數列{}:中所有能被3或5整除的數刪去後,剩下的數自小到大排成乙個數列{},求的值.
解:由於,故若是3或5的倍數,當且僅當是3或5的倍數.
現將數軸正向分成一系列長為60的區間段:(0,+)＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…,注意第乙個區間段中含有{}的項15個,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中屬於{}的項8個,為於是每個區間段中恰有15個{}的項,8個{}的項,且有,k∈n,1≤r≤8.
由於2006＝8×250+6,而,所以.
6．（2004湖南）設數列滿足條件：，且)
求證：對於任何正整數n，都有
證明：令,則有，且 ， 於是由算術-幾何平均值不等式，可得+
注意到 ，可知，即
7．（2023年上海） 數列定義如下：，且當時，
已知，求正整數n．
解由題設易知，．又由，可得，當n為偶數時，；當是奇數時4分）
由，所以n為偶數，於是，所以，是奇數．
於是依次可得：，是偶數，，是奇數，
，是偶數，，是奇數，
，是偶數，，是偶數，
，是奇數， ……………（9分）
，是偶數，，是奇數，
，是偶數，，
所以，，解得，n＝23814分）
13. (2005全國)數列滿足：
證明：（1）對任意為正整數；(2)對任意為完全平方數。
證明：（1）由題設得且嚴格單調遞增.將條件式變形得兩邊平方整理得 ①
②①-②得
③由③式及可知，對任意為正整數10分
（2）將①兩邊配方，得④
由③≡∴≡≡0（mod3）∴為正整數
④式成立.是完全平方數20分
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