三角形中有許多重要的特殊點，特別是三角形的「五心」，在解題時有很多應用，在這裡分別給予介紹．
一、三角形外心的性質
外心定理的證明：如圖，設ab、bc的中垂線交於點o，則有oa=ob=oc，故o也在a的中垂線上，因為o到三頂點的距離相等，故點o是δabc外接圓的圓心．因而稱為外心．
設⊿abc的外接圓為☉g(r)，角a、b、c的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1：（1）銳角三角形的外心在三角形內；
（2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合；
（3）鈍角三角形的外心在三角形外.
2：∠bgc=2∠a，（或∠bgc=2(180°-∠a).
3：點g是平面abc上一點，那麼點g是⊿abc外心的充要條件是：
點是的外心 (或2=2=2)(點到三頂點距離相等)
0(為三邊垂直平分線的交點)
4：點g是平面abc上一點，點p是平面abc上任意一點，那麼點g是⊿abc外心的充要條件是：
=((tanb+tanc) +(tanc+tana) +(tana+tanb))/2(tana+tanb+tanc).
或=(cosa/2sinbsinc) +(cosb/2sincsina) +(cosc/2sinasinb).
5：r=abc/4s⊿abc.
正弦定理：2r=a/sina=b/sinb=c/sinc。
6.外心座標：
給定求外接圓心座標o（x，y）
①. 首先，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，我們根據圓心到頂點的距離相等，可以列出以下方程：
②.化簡得到：
令；;；; 即;;
③.最後根據克拉默法則：
因此，x，y為最終結果；
7.若o是△abc的外心，則s△boc：s△aoc：
s△aob=sin∠boc：sin∠aoc：sin∠aob=sin∠2a：
sin∠2b：sin∠2c 故sin∠2a·+sin∠2b·+sin∠2c·=
證明：設點在內部，由向量基本定理，有，則設：，則點為△def的重心， 又，，，∴
若o是△abc的外心，則s△boc：s△aoc：s△aob=sin∠boc：sin∠aoc：sin∠aob=sin∠2a：sin∠2b：sin∠2c
故sin∠2a·+sin∠2b·+sin∠2c·=
二、三角形的內心
內心定理的證明：如圖，設∠a、∠c的平分線相交於i、過i作id⊥bc，ie⊥ac，if⊥ab則有ie=if=id．因此i也在∠c的平分線上，即三角形三內角平分線交於一點．上述定理的證法完全適用於旁心定理，請同學們自己完成．
設△abc的內切圓為☉o(半徑r)，角a、b、c的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2。
1、三角形的三個角平分線交於一點，該點即為三角形的內心。
2、三角形的內心到三邊的距離相等，都等於內切圓半徑r。
3、r=s/p。
證明：s△abc=s△oab+s△oac+s△obc=(cr+br+ar)/2=rp, 即得結論。
4、△abc中，∠c=90°，r=(a+b-c)/2。
5、∠boc=90°+∠a/2。
6、點o是平面abc上任意一點，點o是△abc內心的充要條件是：
。7、點o是平面abc上任意一點，點l是△abc內心的充要條件是：
/(a+b+c)。
8、△abc中，，那麼△abc內心l的座標是：
。9、(尤拉定理)△abc中，r和r分別為外接圓為和內切圓的半徑，o和i分別為其外心和內心，則ol2=r2-2rr。
10、內角平分線分三邊長度關係：如圖：△abc中，ad是∠a的角平分線，d在bc上，a、b、c分別是∠a、∠b、∠c的對邊，d=ad。
設r1是△abd的外接圓半徑，r2是△acd的外接圓半徑，則有：bd/cd=ab/ac
證明：由正弦定理得
b/sinb=c/sinc，d=2r1sinb=2r2sinc，
∴r1/r2=sinc/sinb=c/b.
又bd=2r1sinbad， cd=2r2sincad，
∠cad=∠bad，
∴bd/cd=r1/r2=c/b=ab/ac
11、內切圓半徑r=
三、三角形的重心
1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
4.在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均，即其座標為。
5.重心是三角形內到三邊距離之積最大的點。
6.(萊布尼茲公式)三角形abc的重心為g，點p為其內部任意一點，則
7.在三角形abc中，過重心g的直線交ab、ac所在直線分別於p、q，則 ab/ap+ac/aq=3
8.從三角形abc的三個頂點分別向以他們的對邊為直徑的圓作切線，所得的6個切點為，則均在以重心g為圓心，為半徑的圓周上
四、三角形的垂心
證明垂心定理
分析我們可以利用構造外心來進行證明。
證明如圖，ad、be、cf為δabc三條高，過點a、b、c分別作對邊的平行線相交成δa'b'c'，顯然ad為b'c'的中垂線；同理be、cf也分別為a'c'、a'b'的中垂線，由外心定理，它們交於一點，命題得證．
設△abc的三條高為ad、be、cf，其中d、e、f為垂足，垂心為h，角a、b、c的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1、銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外.
2、三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心；
3、 垂心h關於三邊的對稱點，均在△abc的外接圓上。
4、 △abc中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且ah·hd=bh·he=ch·hf。
5、 h、a、b、c四點中任一點是其餘三點為頂點的三角形的垂心(並稱這樣的四點為一—垂心組)。
6、 △abc，△abh，△bch，△ach的外接圓是等圓。
7、 在非直角三角形中，過h的直線交ab、ac所在直線分別於p、q，則 ab/ap·tanb+ac/aq·tanc=tana+tanb+tanc。
8、 設o，h分別為△abc的外心和垂心，則∠bao=∠hac，∠abh=∠obc，∠bco=∠hca。
9、 銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等於其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。
10、 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短（施瓦爾茲三角形，最早在古希臘時期由海倫發現）。
11、西姆松定理（西姆松線）：從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。
12、 設銳角△abc內有一點p，那麼p是垂心的充分必要條件是pb*pc*bc+pb*pa*ab+pa*pc*ac=ab*bc*ca。
13、設h為非直角三角形的垂心，且d、e、f分別為h在bc，ca，ab上的射影，h1，h2，h3分別為△aef，△bdf，△cde的垂心，則△def≌△h1h2h3。
14、三角形垂心h的垂足三角形的三邊，分別平行於原三角形外接圓在各頂點的切線。
15、三角形任一頂點到垂心的距離，等於外心到對邊的距離的2倍。（垂心伴隨外接圓，必有平行四邊形）
推論（垂心餘弦定理）：銳角三角形abc的垂心為h，則ah/cosa=bh/cosb=ch/cosc=2r（可引入有向距，推廣到任意三角形）
16、等邊三角形的垂心把三角形的高分成2:1兩段，靠近頂點的那段長度為高的三分之二。
17、垂心的重心座標反而比外心簡單一點。先計算下列臨時變數（與外心一樣）：
d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
垂心座標：( c1/c，c2/c，c3/c )
△abc中，，垂心h(m,n);
分別做高線: ah⊥bc;bh⊥ac;
且解得:
五、三角形的旁心
1 ：三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交於一點，該點即為三角形的旁心。
2：旁心到三角形三邊的距離相等。
3：三角形有三個旁切圓，三個旁心。旁心一定在三角形外。
4：直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等於三角形周長的一半。
5:的內心為，而邊外的旁心分別為；
分別是三條內角平分線，交三角形外接圓於，交外接圓於，交於，顯然，三角形過同一頂點的內、外角平分線互相垂直，並且有
、；、；
、；；、；；
、；、；（稱為對稱比定理）．
、，（俗稱「雞爪」定理）．
6: 7：旁心與內心的關係
如圖，為△abc的內心，是△abc的三個旁心。注意：的中點d、e、f都在△abc外接圓上。這一點對內心來確定旁心的位置大有作用。
又由內心張角公式得：，
又因為、c、、b四點共圓，故
同理，;
這便是旁心張角公式
8：旁心於半周長(p)形影不離
如圖：是△abc的旁心，作垂直於ab於e，垂直於ac於f。
易得：be=bd,cf=cd,ae=af,ae+af=(ab+bd)+(ac+cd)=ab+bc+ac,故ae=af=p
9：旁心與三角形三個頂點構成三組三點共線
如圖：分別是△abc的三個旁心，由於是對頂角的平分線亦為反向延長線，故三點共線。
特別性質：1.三角形所在平面內一點的向量與面積關係
結論： 設點在內部，若，則
證明： 已知點在內部，且
設：，則點為△def的重心，
又，，，
∴說明: 此結論說明當點在內部時，。
應用舉例：設點在內部，且，則的面積與的面積之比是：
a．2：1b．3：1c．4：3 d．3：2
分析：由上述結論易得：，所以，故選d
當把這些點特定為三角形的「四心」時，我們就能得到有關三角形「四心」的一組統一的向量形式。
引申：設點在內部，且角所對應的邊分別為
三角形五心及證明
o，a，b，c對應的複數分別為，1，若是的重心，則 式1 2，若是的內心，則 式2 其中 3，若是的垂心，則 式3 其中4，若是的外心，則 式4 其中 a，b，c同3，5，旁心 三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點 記為中的內角平分線和兩頂點處的外角平分線的交點，為中的內角平分線和兩...
三角形五心與向量
9 o是平面上一定點，a b c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則p的軌跡一定通過 abc的內心。o是平面上一定點，a b c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則p的軌跡一定通過 abc的垂心。o是平面上一定點，a b c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則p的軌跡一定通過 abc的重心。1 20...
全等三角形和相似三角形
a.上節知識問答 b.精彩導學 三角形全等中考以證明題出現，比例的性質是數學基本能力，相似出現在壓軸題題中。c.教師精講 全等三角形回顧 全等三角形的典型圖形 全等三角形判定 sas 兩邊夾角證全等 asa 兩角夾邊證全等 aas 兩角一邊證全等 sss 三邊相等證全等 hl 直角三角形直角邊和斜邊...