o，a，b，c對應的複數分別為，，，
1，若是的重心，則： （式1）
2，若是的內心，則：
式2） 其中
3，若是的垂心，則：
（式3）
其中4，若是的外心，則：
（式4）
其中 a，b，c同3，
5，旁心：三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點．記為中的內角平分線和兩頂點處的外角平分線的交點，為中的內角平分線和兩頂點處的外角平分線的交點，為中的內角平分線和兩頂點處的外角平分線的交點，式5）
證明如下：
，為非頂點的任一點，連線交於點，連線交於點，連線交於點記：，，，
，，，同理：
由於b，o，e共線，
由於c，o，f共線，
所以從而有
又因為：，，
所以： （式6）
1，為重心時，則，帶入（式6）有
2，為內心時，由角平分線定理知：，，
帶入（式6）有
3，為垂心時，
若不是直角三角形時，
，，，，
帶入（式6）有
其中：這是因為：
兩邊同時除以即可
若是直角三角形時，
以為直角，則點為的垂心，， 滿足（式3）；同理以為直角和以為直角也滿足（式3）。
4，為外心時
在中，d、e、f分別是邊bc、ca、ab的中點，若o是△abc的外心，則o是△def的垂心。
證明如下：
∵d、e、f分別是bc、ca、ab的中點
∴∵o是的外心∴ ∴
同理：∴為的垂心
故可由3知
其中，，
因為、、分別是、、的中點
所以，，
5，為旁心時，三角形有3個旁心，只證明其中之一即可，不妨為是角的內角平分線，故由內角平分線定理知，
同樣，由於是的角平分線，所以
所以：即將，帶入（式6）有：
類似可得
由此得證
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21.如圖，等腰梯形abcd中，ad bc,ad ab cd 2,c 600,m是bc的中點。1 求證 mdc是等邊三角形 2 將 mdc繞點m旋轉，當md 即md 與ab交於一點e,mc即mc 同時與ad交於一點f時，點e,f和點a構成 aef.試 aef的周長是否存在最小值。如果不存在，請說明理...
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1.本小題10分 如圖，在 abc中，ab ac，a 80 e，f，p分別是ab，ac，bc邊上一點，且be bp，cp cf，則 epf a.40 b.50 c.80 d.45 2.本小題10分 如圖，在 abc中，m為bc中點，an平分 bac，an bn於n，且ab 10，ac 18，則mn等...
三角形五心與向量
9 o是平面上一定點，a b c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則p的軌跡一定通過 abc的內心。o是平面上一定點，a b c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則p的軌跡一定通過 abc的垂心。o是平面上一定點，a b c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則p的軌跡一定通過 abc的重心。1 20...