21.如圖，等腰梯形abcd中，ad∥bc,ad=ab=cd=2,
∠c=600,m是bc的中點。
（1）求證：⊿mdc是等邊三角形；
（2）將⊿mdc繞點m旋轉，當md(即md′)與ab交於一點e,mc即mc′)同時與ad交於一點f時，點e,f和點a構成⊿aef.試**⊿aef的周長是否存在最小值。如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出⊿aef周長的最小值。
（1）證明：過點d作dp⊥bc,於點p，過點a作aq⊥bc於點q,
∵∠c=∠b=600
∴cp=bq=ab,cp+bq=ab
……………. （1分）
又∵adpq是矩形，ad=pq,故bc=2ad,
由已知，點m是bc的中點，
bm=cm=ad=ab=cd2分）
即⊿mdc中，cm=cd, ∠c=600,故⊿mdc是等邊三角形。………. （3分）
（2）解：⊿aef的周長存在最小值，理由如下：
連線am,由（1）平行四邊形abmd是菱形，⊿mab, ⊿mad和⊿mc′d′是等邊三角形，
∠bma=∠bme+∠ame=600, ∠emf=∠amf+∠ame=600
∴∠bme=∠amf……………. （5分）
在⊿bme與⊿amf中，bm=am, ∠ebm=∠fam=600
∴⊿bme≌⊿amf(asa6分）
∴be=af, me=mf,ae+af=ae+be=ab
∵∠emf=∠dmc=600 ,故⊿emf是等邊三角形，ef=mf7分）
∵mf的最小值為點m到ad的距離，即ef的最小值是。
⊿aef的周長=ae+af+ef=ab+ef,
⊿aef的周長的最小值為28分）
28 已知：在△abc中，bc=2ac，∠dbc=∠acb，bd=bc，cd交線段ab於點e．
(1)如圖l，當∠acb=900時，則線段de、ce之間的數量關係為
(2)如圖2，當∠acb=1200時，求證：de=3ce：
(3)如圖3，在(2)的條件下，點f是bc邊的中點，連線df，df與ab交於g，△dkg
和△dbg關於直線dg對稱(點b的對稱點是點k，延長dk交ab於點h．
若bh=10，求ce的長
8．(本題10分)
已知：在△abc中，∠acb=900，點p是線段ac上一點，過點a作ab的垂線，交bp的延長線於點m，mn⊥ac於點n，pq⊥ab於點q，a0=mn．
(1)如圖l，求證：pc=an；
(2)如圖2，點e是mn上一點，連線ep並延長交bc於點k，點d是ab上一點，連線dk，∠dke=∠abc，ef⊥pm於點h，交bc延長線於點f，若np=2，pc=3，ck：cf=2：3，求dq的長．
25.（本題滿分10分）
（1）問題**
如圖1，分別以△abc的邊ac與邊bc為邊，向△abc外作正方形acd1e1和正方形bcd2e2，過點c作直線kh交直線ab於點h，使∠ahk=∠acd1作d1m⊥kh，d2n⊥kh，垂足分別為點m，n.試**線段d1m與線段d2n的數量關係，並加以證明.
（2）拓展延伸
①如圖2，若將「問題**」中的正方形改為正三角形，過點c作直線k1h1，k2h2，分別交直線ab於點h1，h2，使∠ah1k1=∠bh2k2=∠acd1.作d1m⊥k1h1，d2n⊥k2h2，垂足分別為點m，n.d1m=d2n是否仍成立？
若成立，給出證明；若不成立，說明理由.
②如圖3，若將①中的「正三角形」改為「正五邊形」，其他條件不變.d1m=d2n是否仍成立？（要求：在圖3中補全圖形，註明字母，直接寫出結論，不需證明）
25.（本題滿分10分）
解：（1）d1m=d2n1分
證明：∵∠acd1=90°，
∴∠ach+∠d1ck=90°
∵∠ahk=∠acd1=90°，
∴∠ach+∠hac=90°
∴∠d1ck=∠hac2分
∵ac=cd1，
∴△ach≌△cd1m
∴d1m=ch3分
同理可證d2n=ch
∴d1m=d2n4分
（2）①證明：d1m=d2n成立5分
過點c作cg⊥ab，垂足為點g.
∵∠h1ac+∠ach1+∠ah1c=180°，
∠d1cm+∠ach1+∠acd1=180°，
∠ah1c=∠acd1，
∴∠h1ac=∠d1cm6分
∵ac=cd1，∠agc=∠cmd1=90°，
∴△acg≌△cd1m.
∴cg=d1m7分
同理可證cg=d2n.
∴d1m=d2n8分
②作圖正確9分
d1m=d2n還成立
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