課題線段的垂直平分線、角平分線
知識要點詳解
◆一、垂直平分線
1、線段垂直平分線的性質
（1）垂直平分線性質定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.
定理的數學表示：如圖1，已知直線m與線段ab垂直相交於點d，且ad＝bd，若點c在直線m上，則ac＝bc.
定理的作用：證明兩條線段相等
（2）線段關於它的垂直平分線對稱.
2、線段垂直平分線性質定理的逆定理
（1）線段垂直平分線的逆定理：
到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.
定理的數學表示：如圖2，已知直線m與線段ab垂直相交於點d，且ad＝bd，若ac＝bc，則點c在直線m上.
定理的作用：證明乙個點在某線段的垂直平分線上.
3、關於三角形三邊垂直平分線
（1）關於三角形三邊垂直平分線
三角形三邊的垂直平分線相交於一點，並且這一點到三個頂點的距離相等.
定理的數學表示：如圖3，若直線分別是△abc三邊ab、bc、ca的垂直平分線，則直線相交於一點o，且oa＝ob＝oc.
定理的作用：證明三角形內的線段相等.
（2）三角形三邊垂直平分線的交點位置與三角形形狀的關係：
若三角形是銳角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在三角形內部；若三角形是直角三角形，則它三邊垂直平分線的交點是其斜邊的中點；若三角形是鈍角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在三角形外部.
◆二、角平分線
角平分線的性質定理：
1、角平分線的性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
定理的數學表示：如圖4，已知oe是∠aob的平分線，f是oe上一點，若cf⊥oa於點c，df⊥ob於點d，則cf＝df.
定理的作用：①證明兩條線段相等；②用於幾何作圖問題；
角是乙個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線.
2、角平分線性質定理的逆定理：
角平分線性質定理的逆定理：在角的內部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上.
定理的數學表示：如圖5，已知點p在∠aob的內部，且pc⊥oa於c，pd⊥ob於d，若pc＝pd，則點p在∠aob的平分線上.
定理的作用：用於證明兩個角相等或證明一條射線是乙個角的角平分線
注意角平分線的性質定理與逆定理的區別和聯絡.
3、關於三角形三條角平分線
（1）關於三角形三條角平分線交點：
三角形三條角平分線相交於一點，並且這一點到三邊的距離相等.
定理的數學表示：如圖6，如果ap、bq、cr分別是△abc的內角∠bac、∠abc、∠acb的平分線，那麼：
① ap、bq、cr相交於一點i；
② 若id、ie、if分別垂直於bc、ca、ab於點d、e、f，則di＝ei＝fi.
定理的作用：①用於證明三角形內的線段相等；②用於實際中的幾何作圖問題.
（2）三角形三條角平分線的交點位置與三角形形狀的關係：
三角形三個內角角平分線的交點一定在三角形的內部.
【小試牛刀】
1. 在△abc中，ab=ac=6 cm，ab的垂直平分線與ac相交於e點，且△bce的周長為10 cm，則bc=______ .
2.在rt△abc中，∠c=90°，ac＞bc，ab的垂直平分線與ac相交於e點，鏈結be，若∠cbe∶∠eba=
1∶4，則∠a=______度，∠abc度.
3.如左下圖，在△abc中，ac的垂直平分線交ac於e，交bc於d，△abd的周長是12 cm，ac=5cm，
則ab+bd+ad=________cm；ab+bd+dccm；△abc的周長是cm.
4.如右上圖，在rt△abc中，∠c=90°,∠b=15°,de是ab的中垂線，垂足為d，交bc於e，
be=5，則aeaecac
5.如圖1，△abc中，∠c=90°，am平分∠cab，cm=20 cm，則點m到ab的距離是
6.如圖2，等邊△abc中，f是ab中點，ef⊥ac於e，若△abc的邊長為10，則aeae∶ec
圖1圖2
7、 如圖，要在公路mn旁修建乙個貨物中轉站p，分別向a、b兩個開發區運貨。
（1）若要求貨站到a、b兩個開發區的距離和最小，那麼貨站應建在那裡？
（2）若要求貨站到a、b兩個開發區的距離相等，那麼貨站應建在那裡？
（分別在圖上找出點p，並保留作圖痕跡，寫出相應的文字說明.）
8、如圖：某地有兩所大學和兩條相交叉的公路，（點m，n表示大學，ao，bo表示公路）.現計畫修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相等，到兩條公路的距離也相等。
你能確定倉庫應該建在什麼位置嗎？簡要的說明設計方法並在所給的圖形中畫出你的設計方案；
【經典例題】
例1、 如右圖，p是∠aob的平分線om上任意一點，pe⊥ca於e，pf⊥ob於f，鏈結ef.
求證：op垂直平分ef.
例2、已知：如圖，ce⊥ab，bf⊥ac，ce與bf相交於d，且bd=cd.
求證：d在∠bac的平分線上.
【鞏固練習】
一、相信你一定能選對！
1. 下列命題中正確的命題有（ ）
①線段垂直平分線上任一點到線段兩端距離相等；②線段上任一點到垂直平分線兩端距離相等；
③經過線段中點的直線只有一條；④點p**段ab外且pa=pb，過p作直線mn，則mn是線段ab的
垂直平分線；⑤過線段上任一點可以作這條線段的中垂線.
a.1個b.2個c.3個d.4個
2.如圖2，在rt△abc中，∠acb=90°，bc的垂直平分線交斜邊ab於d，ab=12 cm，ac=6 cm，
則圖中等於60°的角共有（ ）
圖2a.2個 b.3個 c.4個 d.5個
3.△abc中，∠c=90°，ab的中垂線交直線bc於d，若∠bad－∠dac=22.5°，則∠b等於（ ）
a.37.5° b.67.5° c.37.5°或67.5° d.無法確定
4.如左下圖，ac=ad，bc=bd，則
a.cd垂直平分adb.ab垂直平分cd
c.cd平分∠acbd.以上結論均不對
5.如右上圖，△abc中，ab的垂直平分線交ac於d，如果ac=5 cm，bc=4cm，那麼△dbc的周長是
a.6 cmb.7 cmc.8 cmd.9 cm
6.如果三角形三條邊的中垂線的交點在三角形的外部，那麼，這個三角形是
a.直角三角形b.銳角三角形
c.鈍角三角形d.等邊三角形
7.如左下圖，在△abc中，∠acb=90°,be平分∠abc，de⊥ab於d，如果ac=3 cm，那麼ae+de等於
a.2 cmb.3 cmc.4 cmd.5 cm
8.如右上圖，已知ab=ac，ae=af，be與cf交於點d，則①△abe≌△acf
②△bdf≌△cde ③d在∠bac的平分線上，以上結論中，正確的是
a.只有b.只有②
c.只有①和d.①，②與③
二、你能填得又快又對嗎？
9.如圖（1），p是線段ab垂直平分線上一點，m為線段ab上異於a，b的點，則pa，pb，pm的大小
關係是papbpm.
10.如圖（2），在△abc中，∠c=90°，∠a=30°，bd平分∠abc交bc於d，則點d在上.
（123）
11.如圖（3），bc是等腰△abc和等腰△dbc的公共底，則直線ad必是的垂直平分線.
12.如圖3，△abc中，de垂直平分bc，垂足為e，交ab於d，若ab=10 cm，ac=6 cm，則△acd的周長為
圖3圖4
13.如圖4，∠c=90°，∠abc=75°，∠cdb=30°，若bc=3 cm，則adcm.
三、解答題
14.已知如圖3，在△abc中，ab=ac，o是△abc內一點，且ob=oc，求證：ao⊥bc.
圖315.如圖4，在△abc中，ab=ac，∠a=120°，ab的垂直平分線mn分別交bc、ab於點m、n.
求證：cm=2bm.
圖416.如右圖，已知be⊥ac於e，cf⊥ab於f，be、cf相交於點d，若bd=cd.求證：ad平分∠bac.
四、作圖題：
17. 如圖1-28，a、b、c三點代表三個工廠，現要建乙個供水站，使它到這三個工廠的距離相等.
試確定供水站的位置p.
四、勇敢闖一闖：
19、已知：如圖，ab=ac，∠acb=∠acd，bc=2cd .求證：ad⊥cd
【課後作業】
1. 如圖，∠c＝90°，∠b＝30°，ad是rt△abc的角平分線。
求證：bd＝2cd
三角形證明
21.如圖，等腰梯形abcd中，ad bc,ad ab cd 2,c 600,m是bc的中點。1 求證 mdc是等邊三角形 2 將 mdc繞點m旋轉，當md 即md 與ab交於一點e,mc即mc 同時與ad交於一點f時，點e,f和點a構成 aef.試 aef的周長是否存在最小值。如果不存在，請說明理...
三角形證明
1.本小題10分 如圖，在 abc中，ab ac，a 80 e，f，p分別是ab，ac，bc邊上一點，且be bp，cp cf，則 epf a.40 b.50 c.80 d.45 2.本小題10分 如圖，在 abc中，m為bc中點，an平分 bac，an bn於n，且ab 10，ac 18，則mn等...
證明三角形全等 二
全等三角形輔助線 常見輔助線的作法有以下幾種 1 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用 三線合一 的性質解題，思維模式是全等變換中的 對折 2 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的 旋轉 3 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩...