符號說明：「ab」表示向量，「|ab|」表示向量的模
【一些結論】：以下皆是向量
1 若p是△abc的重心pa+pb+pc=0
2 若p是△abc的垂心pa*pb=pb*pc=pa*pc(內積）
3 若p是△abc的內心apa+bpb+cpc=0(abc是三邊）
4 若p是△abc的外心|pa|=|pb|=|pc|
（ap就表示ap向量 |ap|就是它的模）
5 ap=λ（ab/|ab|+ac/|ac|),λ∈[0,+∞) 則直線ap經過△abc內心
6 ap=λ（ab/|ab|cosb+ac/|ac|cosc),λ∈[0,+∞) 經過垂心
7 ap=λ（ab/|ab|sinb+ac/|ac|sinc),λ∈[0,+∞）
或 ap=λ(ab+ac),λ∈[0,+∞) 經過重心
8.若aoa=bob+coc，則0為∠a的旁心,∠a及∠b,∠c的外角平分線的交點
【以下是一些結論的有關證明】
1.o是三角形內心的充要條件是aoa向量+bob向量+coc向量=0向量
充分性：
已知aoa向量+bob向量+coc向量=0向量，
延長co交ab於d，根據向量加法得：
oa=od+da,ob=od+db，代入已知得：
a(od+da)+b(od+db)+coc=0,
因為od與oc共線，所以可設od=koc,
上式可化為(ka+kb+c) oc+(ada+bdb)=0向量,
向量da與db共線，向量oc與向量da、db不共線，
所以只能有：ka+kb+c=0，ada+bdb=0向量,
由ada+bdb=0向量可知：da與db的長度之比為b/a,
所以cd為∠acb的平分線，同理可證其它的兩條也是角平分線。
必要性：
已知o是三角形內心,
設bo與ac相交於e，co與ab相交於f，
∵o是內心
∴b/a=af/bf，c/a=ae/ce
過a作co的平行線，與bo的延長線相交於n，過a作bo的平行線，與co的延長線相交於m，
所以四邊形oman是平行四邊形
根據平行四邊形法則，得
向量oa
=向量om+向量on
=(om/co)*向量co+(on/bo)*向量bo
=(ae/ce)*向量co+(af/bf)*向量bo
=(c/a)*向量co+(b/a)*向量bo
∴a*向量oa=b*向量bo+c*向量co
∴a*向量oa+b*向量ob+c*向量oc=向量0
2.已知△abc 為斜三角形，且o是△abc所在平面上的乙個定點，動點p滿足向量op=oa+入,
求證p點軌跡過三角形的垂心
op=oa+入,
op-oa=入,
ap=入,
ap*bc=入,
ap*bc=入,
ap*bc=入,
ap*bc=入,
根據正弦定理得：|ab|/sinc=|ac|/ sinb,
所以|ab|*sinb=|ac|*sinc ∴-|bc|/ (|ab|*2sinb ) +|bc|/(|ac|*2sinc )=0，
即ap*bc=0，
p點軌跡過三角形的垂心
3. op=oa+λ(ab/(|ab|sinb)+ac/(|ac|sinc))
op-oa=λ(ab/(|ab|sinb)+ac/(|ac|sinc))
ap=λ(ab/(|ab|sinb)+ac/(|ac|sinc))
ap與ab/|ab|sinb+ac/|ac|sinc共線
根據正弦定理：|ab|/sinc=|ac|/sinb,
所以|ab|sinb=|ac|sinc,
所以ap與ab+ac共線 ab+ac過bc中點d，
所以p點的軌跡也過中點d，
∴點p過三角形重心。
4. op=oa+λ(abcosc/|ab|+accos
b/|ac|) op=oa+λ(abcosc/|ab|+accosb/|ac|)
ap=λ(abcosc/|ab|+accosb/|ac|)
ap*bc
=λ(ab*bc cosc/|ab|+ac*bc cosb/|acab|*|bc|cos(180° -b)cosc/|ab|+|ac|*|bc| cosccosb/|acbc|cosbcosc+|bc| cosccosb] =0，
所以向量ap與向量bc垂直， p點的軌跡過垂心。
5. op
=oa+λ(ab/|ab|+ac/|ac|) op
=oa+λ(ab/|ab|+ac/|ac|) op-oa
=λ(ab/|ab|+ac/|ac|) ap
=λ(ab/|ab|+ac/|ac|)
ab/|ab|、ac/|ac|各為ab、ac方向上的單位長度向量，
向量ab與ac的單位向量的和向量，
因為是單位向量，模長都相等，構成菱形， 向量ab與ac的單位向量的和向量為菱形對角線， 易知是角平分線，所以p點的軌跡經過內心。
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