三角形的四心
三角形的四心是指三角形的重心、外心、內心、垂心。等邊三角形的四心重合。
一、三角形的重心
三角形的重心是三角形三條中線的交點。
三角形的三條中線必交於一點
已知：△abc的兩條中線ad、cf相交於點o，鏈結並延長bo，交ac於點e。
三角形的三條中線必交於一點
求證：ae=ce
證明：延長oe到點g，使og=ob
∵og=ob,∴點o是bg的中點又∵點d是bc的中點∴od是△bgc的一條中位線 ∴ad∥cg
∵點o是bg的中點，點f是ab的中點 ∴of是△bga的一條中位線 ∴cf∥ag
∵ad∥cg，cf∥ag,∴四邊形aocg是平行四邊形 ∴ac、og互相平分,∴ae=ce
三角形的重心的性質
1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
4.在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均，即其座標為((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)；空間直角座標系——橫座標：(x1+x2+x3)/3 縱座標：
(y1+y2+y3)/3 豎座標：（z1+z2+z3）/3
5.重心和三角形3個頂點的連線的任意一條連線將三角形面積平分。
6.重心是三角形內到三邊距離之積最大的點。
二、三角形的外心
三角形的外心是三角形三條垂直平分線的交點(或三角形外接圓的圓心) 。
三角形的三條垂直平分線必交於一點
三角形的三條垂直平分線必交於一點
已知：△abc中，ab,ac的垂直平分線do,eo相交於點o
求證：o點在bc的垂直平分線上
證明：鏈結ao,bo,co，∵do垂直平分ab，∴ao=bo
∵eo垂直平分ac，∴ao=co
∴bo=co
即o點在bc的垂直平分線上
三角形的外心的性質
1.三角形三條邊的垂直平分線的交於一點，該點即為三角形外接圓的圓心.
2三角形的外接圓有且只有乙個，即對於給定的三角形，其外心是唯一的，但乙個圓的內接三角形卻有無數個，這些三角形的外心重合。
3.銳角三角形的外心在三角形內；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點重合
4.oa=ob=oc=r
5.∠boc=2∠bac，∠aob=2∠acb，∠coa=2∠cba 5.s△abc=abc/4r
三、三角形的內心
三角形的內心是三角形三條角平分線的交點(或內切圓的圓心)。
三角形的三條角平分線必交於一點
己知：在△abc中，∠a與∠b的角平分線交於點o，連線oc
求證：oc平分∠acb
證明：過o點作od,oe,of分別垂直於ac,bc,ab,垂足分別為d,e,f
∵ao平分∠bac,∴od=oe；∵bo平分∠abc,∴od=of ；∴oe=of
∴o在∠acb角平分線上 ∴co平分∠acb
三角形的內心的性質
1.三角形的三條角平分線交於一點，該點即為三角形的內心
2.三角形的內心到三邊的距離相等，都等於內切圓半徑r
3.r=2s/(a+b+c)
4.在rt△abc中，∠c=90°，r=(a+b-c)/2．
5．∠boc = 90 °+∠a/2 ，∠boa = 90 °+∠c/2 ，∠aoc = 90 °+∠b/2
6．s△abc=abc/4r
四、三角形的垂心
三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(通常用h表示)。
三角形的三條高必交於一點
已知：△abc中，ad、be是兩條高，ad、be交於點o，連線co並延長交ab於點f
三角形的三條高必交於一點
求證：cf⊥ab
證明：連線de ∵∠adb=∠aeb=90°,且在ab同旁，
∴a、b、d、e四點共圓 ∴∠ade=∠abe （同弧上的圓周角相等）
∵∠eao=∠dac ∠aeo=∠adc =90°
∴△aeo∽△adc ∴ae/ad=ao/ac 即ae/ao=ad/ac
∴δead∽δoac ∴∠acf=∠ade=∠abe
又∵∠abe+∠bac=90° ∴∠acf+∠bac=90° ∴cf⊥ab
三角形的垂心的性質
1.銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外
2.三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心
3. 垂心o關於三邊的對稱點，均在△abc的外接圓上
4.△abc中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且ao·od=bo·oe=co·of
5. h、a、b、c四點中任一點是其餘三點為頂點的三角形的垂心(並稱這樣的四點為一—垂心組)。
6.△abc，△abo，△bco，△aco的外接圓是等圓。
7.在非直角三角形中，過o的直線交ab、ac所在直線分別於p、q，則 ab/ap·tanb+ ac/aq·tanc=tana+tanb+tanc
8.三角形任一頂點到垂心的距離，等於外心到對邊的距離的2倍。
9.設o，h分別為△abc的外心和垂心，則∠bao=∠hac，∠abh=∠obc，∠bco=∠hca。
10.銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等於其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。
11.銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。
12.西姆松(simson)定理（西姆松線）
從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的重要條件是該點落在三角形的外接圓上
五、尤拉線
非等邊三角形的外心、重心、垂心，依次位於同一直線上，這條直線就叫三角形的尤拉線。其中，重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。
尤拉線的證法1
作△abc的外接圓，鏈結並延長bo，交外接圓於點d。鏈結ad、cd、ah、ch、oh。作中線am，設am交oh於點g』
∵ bd是直徑
∴ ∠bad、∠bcd是直角
∴ ad⊥ab，dc⊥bc
∵ ch⊥ab，ah⊥bc
∴ da‖ch，dc‖ah
∴ 四邊形adch是平行四邊形
∴ ah=dc
∵ m是bc的中點，o是bd的中點
∴ om= 1/2dc
∴ om= 1/2ah
∵ om‖ah
∴ △omg』 ∽△hag』
∴ag/gm=2/1
∴ g』是△abc的重心
∴ g與g』重合
∴ o、g、h三點在同一條直線上
如果使用向量,證明過程可以極大的簡化,運用向量中的座標法,分別求出o g h三點的座標即可.
尤拉線的證法2
設h,g,o,分別為△abc的垂心、重心、外心。連線ag並延長交bc於d, 則可知d為bc中點。
連線od ，又因為o為外心，所以od⊥bc。連線ah並延長交bc於e,因h為垂心,所以 ae⊥bc。所以od//ae，有∠oda=∠ead。
由於g為重心，則ga:gd=2:1。
連線cg並延長交ba於f,則可知f為ab中點。同理，of//cm.所以有∠ofc=∠mcf
連線fd，有fd平行ac,且有df:ac=1:2。
fd平行ac，所以∠dfc=∠fca，∠fda=∠cad，又∠ofc=∠mcf，∠oda=∠ead，相減可得∠ofd=∠hca,∠odf=∠eac,所以有△ofd∽△hca,所以od:ha=df:ac=1:
2；又ga:gd=2:1所以od:
ha=ga:gd=2:1
又∠oda=∠ead，所以△ogd∽△hga。所以∠ogd=∠agh,又連線ag並延長，所以∠agh+∠dgh=180°,所以∠ogd+∠dgh=180°。即o、g、h三點共線。
尤拉線的證法3
設h,g,o,分別為△abc的垂心、重心、外心.
則向量oh=向量oa+向量+ob+向量oc
向量og=（向量oa+向量ob+向量oc）/3，
向量og*3=向量oh
所以o、g、h三點共線
（2010內江）下面的方格圖案中的正方形頂點叫做格點，圖1中以格點為頂點的等腰直角三角形共有4個，圖2中以格點為頂點的等腰直角三角形共有
1010
個，圖3中以格點為頂點的等腰直角三角形共有
2828
個，圖4中以格點為頂點的等腰直角三角形共有
5050
個．考點：等腰直角三角形．
專題：規律型．
分析：根據正方形的性質，知圖1中，連線2條對角線，可以有4個以格點為頂點的等腰直角三角形；圖2中，連線每個正方形的2條對角線，在圖1的基礎上，則共有4×2+2=10（個）以格點為頂點的等腰直角三角形；圖3中，在圖1和圖2的基礎上，則共有10×2+8=28（個）以格點為頂點的等腰直角三角形；圖4中，在圖2和圖3的基礎上，分解為幾個（2）（3）的圖形，然後觀察形狀不是（2）（3）的四邊形中是否存在滿足條件的三角形，利用勾股定理的逆定理即可作出判斷．
解答：解：第一空 4（設正方形邊長為1，直角邊長為1的等腰三角形有4個）；
第二空 4×2+2=10 （每個正方形都有4個邊長為1的等腰直角三角形，還有2個直角邊長為的就是以2為斜邊）
第三空 4×4+2×4+4=28 （4個小正方形就是4×4而相鄰的兩個小正方形都有2個直角邊為的等腰直角三角形，這樣相鄰的有4對所以是2×4，然後再加上4個直角邊長為2的）
第四空 4×6+2×7+4×2+4=50（6個小正方形，7對相鄰的兩個小正方形，2對直角邊為2的大正方形，4個直角邊長為的斜邊為 ．
工人師傅粉刷牆壁，現用4公尺長的木梯，如圖
（1）其安全使用範圍是木梯於牆面夾角在30°與60°之間（當然包括30°和60°），當木梯頂端上下移動時，求木梯底端移動的最大距離是多少？
三角形四心的向量性質及證明
符號說明 ab 表示向量，ab 表示向量的模 一些結論 以下皆是向量 1 若p是 abc的重心pa pb pc 0 2 若p是 abc的垂心pa pb pb pc pa pc 內積 3 若p是 abc的內心apa bpb cpc 0 abc是三邊 4 若p是 abc的外心 pa pb pc ap就表...
三角形的證明
1 如圖，abc中，abc與 acb的平分線交於點f，過點f作de bc交ab於點d，交ac於點e，那麼下列結論 bdf和 cef都是等腰三角形 de bd ce ade的周長等於ab與ac的和 bf cf 其中正確的有 a b c d 2 如圖，m是 abc的邊bc的中點，an平分 bac，bn ...
三角形五心及證明
o，a，b，c對應的複數分別為，1，若是的重心，則 式1 2，若是的內心，則 式2 其中 3，若是的垂心，則 式3 其中4，若是的外心，則 式4 其中 a，b，c同3，5，旁心 三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點 記為中的內角平分線和兩頂點處的外角平分線的交點，為中的內角平分線和兩...