1 5 14推理與證明

高考專題訓練十四推理與證明

班級_______　姓名_______　時間：45分鐘分值：75分總得分________

一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項填在答題卡上．

1.依次寫出數列a1＝1，a2，a3，…，an(n∈n*)的法則如下：如果an－2為自然數且未寫過，則寫an＋1＝an－2，否則就寫an＋1＝an＋3，則a6＝(　　)

a．4b．5

c．6 d．7

解析：根據題中法則，依次逐個代入，得a2＝4，a3＝2，a4＝0，a5＝3，a6＝6.

答案：c

2．(2011·鄭州市高中畢業班第一次質量**)已知a，b，c∈r＋，若<<，則(　　)

a．cc．a解析：由已知得c(b＋c)0，因此有c－a<0，a－b<0，故c答案：a

3．(2011·四川省綿陽市高三第二次診斷性測試)記a＝sin (cos2010°)，b＝sin(sin2010°)，c＝cos(sin2010°)，d＝cos(cos2010°)，則a、b、c、d中最大的是(　　)

a．a b．b

c．c d．d

解析：注意到2010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2010°＝－sin30°＝－，cos2010°＝－cos30°＝－，－ <－<0，－ <－<0,0<<<，cos>cos>0，a＝sin＝－sin<0，b＝sin＝－sin

<0，c＝cos＝cos>d＝cos＝cos>0，

因此選c.

答案：c

4．(2011·江西師大附中、臨川一中高三聯考)若實數a，b，c成公差不為0的等差數列，則下列不等式不成立的是(　　)

a．|b－a＋|≥2 b．a3b＋b3c＋c3a≥a4＋b4＋c4

c．b2>ac d．|b|－|a|≤|c|－|b|

解析：設等差數列a，b，c的公差為d(d≠0)，則|b－a＋|＝|d＋|＝|d|＋||≥2＝2，因此a成立；b2－ac＝2－ac＝>0，因此c成立；由2b＝a＋c得|2b|＝|a＋c|≤|c|＋|a|，即|b|－|a|≤|c|－|b|，因此d成立；對於b，當a＝－1，b＝－2，c＝－3時，a3b＋b3c＋c3a＝53，a4＋b4＋c4＝98，此時b不成立．綜上所述，選b.

答案：b

5．(2011·西安市五校第一次模擬考試)已知「整數對」按如下規律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個數對是(　　)

a．(7,5) b．(5,7)

c．(2,10) d．(10,1)

解析：依題意，就每組整數對的和相同的分為一組，不難得知每組整數對的和為n＋1，且每組共有n個整數對，這樣的前n組一共有個整數對，注意到<60<，因此第60個整數對處於第11組(每對整數對的和為12的組)的第5個位置，結合題意可知每對整數對的和為12的組中的各對數依次為(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60個整數對是(5,7)，選b.

答案：b

6．(2011·江蘇鎮江模擬)用反證法證明命題：「三角形的內角中至少有乙個不大於60度」時，假設正確的是(　　)

a．假設三內角都不大於60度

b．假設三內角都大於60度

c．假設三內角至多有乙個大於60度

d．假設三內角至多有兩個大於60度

解析：根據反證法的步驟，假設是對原命題結論的否定，即「三內角都大於60度」．故選b.

答案：b

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上．

7．(2011·南昌一模)觀察下列等式：

12＝1

12－22＝－3，

12－22＋32＝6，

12－22＋32－42＝－10，

…，由以上等式推測到乙個一般的結論：對於n∈n*，

12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2

解析：注意到第n個等式的左邊有n項，右邊的結果的絕對值恰好等於左邊的各項的所有底數的和，即右邊的結果的絕對值等於1＋2＋3＋…＋n＝＝，注意到右邊的結果的符號的規律是：當n為奇數時，符號為正；當n為偶數時，符號為負，因此所填的結果是(－1)n＋1.

答案：(－1)n＋1

8．(2011·東北三省四市教研聯合體等值模擬診斷)設s、v分別表示面積和體積，如△abc面積用s△abc表示，三稜錐o－abc的體積用vo－abc表示．對於命題：如果o是線段ab上一點，則||·＋||·＝0.將它模擬到平面的情形是：

若o是△abc內一點，有s△obc·＋s△oca·＋s△oba·＝0.將它模擬到空間的情形應該是：若o是三稜錐a－bcd內一點，則有

解析：由模擬思想可得結論．

答案：vo－bcd·＋vo－acd·＋vo－abd·＋vo－abc·＝0

9．(2011·山東威海模擬)用數學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋> (n∈n*)成立，其初始值至少應取________．

解析：1＋＋＋…＋＝>，整理得2n>128，解得n>7，故原不等式的初始值至少應為8.

答案：8

10．(2011·遼寧瀋陽模擬)用數學歸納法證明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝(n∈n*)的第二步中，當n＝k＋1時等式左邊與n＝k時的等式左邊的差等於________．

解析：當n＝k時，等式左邊為(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k)，當n＝k＋1時，等式左邊為(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(k＋1＋k＋1)，所以其差為3k＋2.

答案：3k＋2

三、解答題：本大題共2小題，共25分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

11．(12分)已知正數數列的前n項和為sn，且4an－2sn＝1，數列滿足bn＝2an，n∈n*.

(1)求函式的通項公式an與的前n項和tn；

(2)設數列{}的前n項和為un，求證：0解：(1)易得a1＝.

當n≥2時，4an－2sn＝1

4an－1－2sn－1＝1

①－②得2an－4an－1＝0an＝2an－1，

∴＝2(n≥2)，

∴數列是以a1＝為首項，2為公比的等比數列，

∴an＝2n－2，a1＝也適合此式，故an＝2n－2.

從而bn＝4－2n，其前n項和tn＝－n2＋3n.

(2)證明：∵為等比數列、為等差數列，＝.

∴unun

③－④得un＝4－－－－…－－，

∴un＝.

易知u1＝u2＝4，當n≥3時，un－un－1＝<0，

∴當n≥3時，數列是遞減數列，

∴0綜上，012．(13分)在數列，中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數列，bn，an＋1，bn＋1成等比數列(n∈n*)．求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測，的通項公式，並證明你的結論．

解：由條件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，

由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.

猜測an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈n*.

用數學歸納法證明：

①當n＝1時，由已知a1＝2，b1＝4可得結論成立．

②假設當n＝k(k≥2且k∈n*)時，結論成立，即

ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，

那麼當n＝k＋1時，

ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，

bk＋1＝＝＝(k＋2)2.

所以當n＝k＋1時，結論也成立．

由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對一切n∈n*都成立．

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