一、知識概述
歸納推理和模擬推理是合情推理的常用思維方法，前者是由部分到整體、個別到一般的推理，後者是由特殊到特殊的推理．演繹推理是由一般到特殊的推理，「三段論」是演繹推理的一般模式．數學結論的正確性必須通過邏輯推理的方式加以證明才能得到確認，本節介紹了兩類基本的數學證明方法：直接證明與間接證明，要了解這些證明方法的思考過程與特點．
二、重難點知識歸納
1．合情推理
(1)歸納推理
由某類事物的部分物件具有某些特徵，推出該類事物的全部物件都具有這些特徵的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）．
(2)模擬推理
由兩類物件具有某些類似特徵和其中一類物件的某些已知特徵，推出另一類物件也具有這些特徵的推理稱為模擬推理（簡稱模擬）．
2．演繹推理．
(1)定義
從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理．
(2)演繹推理的特點
演繹推理是由一般到特殊的推理，這也決定了演繹推理的結論不會超出前提所界定的範圍，所以其前提和結論之間的聯絡是必然的．因此，演繹推理只要前提和推理形式正確，結論就必然正確．
3．綜合法證明不等式的特點
從已知條件和某些學過的定義、公理、定理等出發，通過推理得出結論．「順推證法」或「由因導果法」，是綜合法的兩種形象化的說法．
4．分析法證明不等式的特點
要證明結論成立，逐步尋求推證過程中，使每一步結論成立的充分條件，直至最後，把要證明的結論歸結為判定乙個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止．
5．反證法
(1)特點
先假設要證的命題不成立，以此為出發點，結合已知條件，經過正確的推理，得出矛盾，由此說明假設錯誤，從而得到原命題成立．
(2)反證法主要適用於以下兩種情形：
①要證的結論與條件之間的聯絡不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰；
②如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形．
三、典型例題剖析
例1．設，且，若，猜想的個位數字是多少？
例2．在中，，求證為直角三角形．
例3．平面內的１條直線把平面分成兩部分，2條相交直線把平面分成4部分，3條相交但不共點的直線把平面分成7部分，n條彼此相交而無三條共點的直線，把平面分成多少部分？
例4．已知0例5．已知，求證：．
一、選擇題
1.下列說法正確的是（ ）
a．模擬推理是由特殊到一般的推理
b．演繹推理是特殊到一般的推理
c．歸納推理是個別到一般的推理
d．合情推理可以作為證明的步驟
2.由「則」推理到「到」是（ ）
a．歸納推理b．模擬推理c．演繹推理d．都不是
3．猜想數列的通項公式是（ ）
ab．c．d．
4.要證明可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是（ ）
a．綜合法 b．分析法 c．反證法 d．歸納法
5.平面內有個點（沒有任何三點共線），連線兩點所成的線段的條數為（ ）
a． b． c． d．
6．等式（ ）
a．為任意正整數時都成立 b．僅當時成立
c．時成立，時不成立
d．僅當時成立
7. 已知，下列各式成立的是（ ）
a． b．
c． d．
8. 用反證法證明：「至少有乙個為0」，應假設（ ）
a．沒有乙個為0 b．只有乙個為0
c．至多有乙個為0 d．兩個都為0
9．把正整數按下圖所示的規律排序，則從2003到2005的箭頭方向依次為（ ）
a． b．c． d．
10．已知，不等式，可推廣為則的值（ ）
a． b． c． d．
二、填空題
11．猜想的值為
12.在等差數列中，（且）若，則有成立，模擬上述性質，在等比數列中，若，則存在怎樣的等式
13．已知，若，則
14. 若數列()是等差數列，則有數列()也是等差數列，模擬上述性質，相應地：若數列是等比數列，且＞0()，則有也是等比數列.
三、解答題
15．已知．
(1)求證：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；
(2)求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有乙個不小於．
16．已知x，y，z是互不相等的正數，且x＋y＋z=1，求證：．
17．在def中有餘弦定理：．拓展到空間，模擬三角形的餘弦定理，寫出斜三稜柱abc－的3個側面面積與其中兩個側面所成二面角之間的關係式，並予以證明．
18．已知數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列；a10，a11，…，a20是公差為d的等差數列；是公差為的等差數列（）.（1）若，求；
（2）試寫出關於的關係式，並求的取值範圍；
（3）續寫已知數列，使得是公差為的等差數列，……，依次類推，把已知數列推廣為無窮數列. 提出同（2）類似的問題（（2）應當作為特例），並進行研究，你能得到什麼樣的結論？
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