推理與證明

（一）合情推理與演繹推理

1．了解合情推理的含義，能利用歸納和模擬等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用。

2．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，並能運用它們進行一些簡單推理。

3．了解合情推理和演繹推理之間的聯絡和差異。

（二）直接證明與間接證明

1．了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

2．了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點。

1．推理與證明的內容是高考的新增內容，主要以選擇填空的形式出現。

2．推理與證明與數列、幾何等有關內容綜合在一起的綜合試題多。

§101合情推理與演繹推理

【考點要求】1．了解合情推理的含義，能利用歸納和模擬等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用。2．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，並能運用它們進行一些簡單推理。3．了解合情推理和演繹推理之間的聯絡和差異。

【基礎知識】

1. 推理一般包括合情推理和演繹推理；

2.合情推理包括和

歸納推理：由某類事物的部分物件具有某些特徵，推出該類事物的全部物件都具有這些特徵的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.。

歸納推理的基本模式：a,b,cm且a,b,c具有某屬性，結論： dm,d也具有某屬性。

模擬推理：由兩類物件具有某些類似特徵和其中一類物件的某些已知特徵，推出另一類物件也具有這些特徵的推理，簡稱模擬。簡言之，模擬推理是由特殊到特殊的推理。

模擬推理的基本模式：a:具有某屬性a,b,c,d；b具有某屬性；結論：

b具有屬性。（a,b,c,d與，相似或相同）

3.演繹推理：：從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理。簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。

（1）「三段論」是演繹推理的一般模式，包括：

第一段：大前提——已知的一般原理；

第二段：小前提——所研究的特殊情況；

第三段：結論——根據一般原理，對特殊情況做出的判斷.

（2）三段論常用格式為：①m是p，② s是m，③s是p；其中①是它提供了乙個個一般性原理；②是它指出了乙個個特殊物件；③是它根據一般原理，對特殊情況作出的判斷.用集合說明：

即若集合m的所有元素都具有性質p,s是m的乙個子集，那麼s中所有元素也都具有性質p。

4.合情推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程，歸納和模擬是合情推理常用的思維方法；在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發現結論、探索和提供思路的作用，有得於創新意識的培養。演繹推理是根據已有的事實和正確的結論，按照嚴格的邏輯法則得到的新結論的推理過程．

【基礎訓練】

1.某同學在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示按這種規律往下排，那麼第36個圓的顏色應是

答案白色

2.數列1，2，4，8，16，32，…的乙個通項公式是答案 an=2n-1

3.已知a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,則a33為

答案 3

4.下面使用模擬推理恰當的是

①「若a·3=b·3,則a=b」類推出「若a·0=b·0，則a=b」

②「(a+b)c=ac+bc」類推出「=+」

③「(a+b）c=ac+bc」類推出「=+ (c≠0)」

④「（ab）n=anbn」類推出「(a+b)n=an+bn」

答案 ③

5.一切奇數都不能被2整除，2100+1是奇數，所以2100+1不能被2整除，其演繹推理的「三段論」的形式為 .

答案一切奇數都不能被2整除大前提

2100+1是奇數小前提

所以2100+1不能被2整除結論

6.由＞,＞,＞,…若a＞b＞0,m＞0，則與之間的大小關係為

答案＞

7.已知f(x)=x2 008+ax2 007--8,f(-1)=10,則f(1答案 -24

8.在平面幾何中，△abc的內角平分線ce分ab所成線段的比=，把這個結論模擬到空間：在三稜錐a—bcd中（如圖所示），而dec平分二面角a—cd—b且與ab相交於e，則得到的模擬的結論是答案 =

例1. 已知：；

通過觀察上述兩等式的規律，請你寫出一般性的命題：

並給出（ * ）式的證明.

解：一般形式:

證明：左邊 =

=== =（將一般形式寫成

等均正確。）

變式訓練1：設，，n∈n，則

解：，由歸納推理可知其週期是4

例2. 在平面上，我們如果用一條直線去截正方形的乙個角，那麼截下的乙個直角三角形，

按圖所標邊長，由勾股定理有：

設想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側稜兩兩垂直的三稜錐o—lmn，如果用表示三個側面面積，表示截面面積，那麼你模擬得到的結論是

解：。變式訓練2：在△abc中，若∠c=90°，ac=b,bc=a，則△abc的外接圓的半徑，把上面的結論推廣到空間，寫出相類似的結論。

答案：本題是「由平面向空間模擬」。考慮到平面中的圖形是乙個直角三角形，

所以在空間中我們可以選取有3個面兩兩垂直的四面體來考慮。

取空間中有三條側稜兩兩垂直的四面體a—bcd，且ab=a，ac=b，ad=c，

則此三稜錐的外接球的半徑是。

例3. 請你把不等式「若是正實數，則有」推廣到一般情形，並證明你的結論。

答案：推廣的結論：若都是正數，

證明： ∵都是正數 ∴ ，

………，，

變式訓練3：觀察式子：，…，則可歸納出式子為（）

ab、cd、

答案：c。解析：用n=2代入選項判斷。

例4. 有一段演繹推理是這樣的：「直線平行於平面,則平行於平面內所有直線；已知直線

平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線」的結論顯然是錯誤的，這是因為

a.大前提錯誤 b.小前提錯誤 c.推理形式錯誤 d.非以上錯誤

答案：a。解析：直線平行於平面,並不平行於平面內所有直線。

變式訓練4：「ac,bd是菱形abcd的對角線，ac,bd互相垂直且平分。」補充以上推理的大前提是

答案：菱形對角線互相垂直且平分

1.由代數式的乘法法則模擬推導向量的數量積的運算法則：

①「mn=nm」模擬得到「a·b=b·a」；②「（m+n）t=mt+nt」模擬得到「(a+b)·c=a·c+b·c」；③「(m·n)t=m(n·t)」模擬得到「（a·b）·c=a·（b·c）」；④「t≠0,mt=xtm=x」模擬得到「p≠0,a·p=x·pa=x」;⑤「|m·n|=|m|·|n|」模擬得到「|a·b|=|a|·|b|」；⑥「 =」模擬得到「=」.

以上的式子中，模擬得到的結論正確的個數是

答案 2

2.下列推理是歸納推理的是填序號）.

①a，b為定點，動點p滿足|pa|+|pb|=2a＞|ab|，得p的軌跡為橢圓

②由a1=1，an=3n-1，求出s1，s2，s3，猜想出數列的前n項和sn的表示式

③由圓x2+y2=r2的面積r2，猜想出橢圓=1的面積s=ab

④科學家利用魚的沉浮原理製造潛艇

答案 ②

3.已知整數的數對列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…則第60個數對是答案 (5,7)

§102直接證明與間接證明

【考點要求】1．了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。2．了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點。

【基礎知識】

1.直接證明：直接從原命題的條件逐步推得結論成立,這種證明方法叫直接證明；

直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法

⑴ 綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫綜合法。框圖表示：

（其中p表示條件，q表示要證的結論）。

綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發，利用已知的數學定理、性質和公式，推出結論的一種證明方法。

⑵分析法：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最後，把要證明的結論歸結為判定乙個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明方法叫分析法。框圖表示：。

分析法的思維特點是：執果索因；

分析法的書寫格式：要證明命題b為真，只需要證明命題為真，從而有……，這只需要證明命題為真，從而又有……這只需要證明命題a為真，而已知a為真，故命題b必為真。

2. 間接證明：間接證明是不同於直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法。

反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最後得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這種證明方法叫反證法。

反證法的步驟：1)假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；2)從這個假設出發，通過推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。注意：

可能出現矛盾四種情況：①與題設矛盾；②與反設矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結論。

應用關鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）.

方法實質：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由乙個命題與其逆否命題同真假，通過證明乙個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實.

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