推理與證明綜合測試題
一、選擇題
1．下面使用的模擬推理中恰當的是（ c ）
ａ．「若，則」模擬得出「若，則」
ｂ．「」模擬得出「」
ｃ．「」模擬得出「」
ｄ．「」模擬得出「」
2．圖1是乙個水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規律放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數就是（ c ）
ａ．256691120
3．推理「①正方形是平行四邊形；②梯形不是平行四邊形；③所以梯形不是正方形」中的小前提是（ b ）
和②4．用數學歸納法證明等式時，第一步驗證時，左邊應取的項是（ d ）
ａ．15．5．在證明命題「對於任意角，」的過程：
「」中應用了（b ）
ａ．分析法綜合法分析法和綜合法綜合使用間接證法
6．要使成立，則應滿足的條件是（ d ）
ａ．且且
ｃ．且且或且
7．下列給出的平面圖形中，與空間的平行六面體作為模擬物件較為合適的是（ c ）
ａ．三角形梯形平行四邊形矩形
8．命題「三角形中最多只有乙個內角是鈍角」的結論的否定是（ c ）
ａ．有兩個內角是鈍角有三個內角是鈍角
ｃ．至少有兩個內角是鈍角 ｄ．沒有乙個內角是鈍角
9．用數學歸納法證明能被8整除時，當時，對於可變形為（ a ）
10．已知扇形的弧長為，所在圓的半徑為，模擬三角形的面積公式：底高，可得扇形的面積公式為（ c ）
不可模擬
11．已知已知，，，則以下結論正確的是（ b ）
大小不定
12．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結論是（ b ）
ａ．ｂ．
ｃ．ｄ．
二、填空題
13．已知，則中共有項．答案 ：
14．已知經過計算和驗證有下列正確的不等式，，
，根據以上不等式的規律，請寫出對正實數成立的條件不等式 ．答案：當時，有
15．在數列中，，，可以猜測數列通項的表示式為:
16．若三角形內切圓的半徑為，三邊長為，則三角形的面積等於，根據模擬推理的方法，若乙個四面體的內切球的半徑為，四個面的面積分別是，則四面體的體積 ．答案：
三、解答題
17．已知是整數，是偶數，求證：也是偶數．
證明：（反證法）假設不是偶數，即是奇數．
設，則．
是偶數，
是奇數，這與已知是偶數矛盾．
由上述矛盾可知，一定是偶數．
18．已知命題：「若數列是等比數列，且，則數列也是等比數列」．模擬這一性質，你能得到關於等差數列的乙個什麼性質？並證明你的結論．
解：模擬等比數列的性質，可以得到等差數列的乙個性質是：若數列是等差數列，則數列也是等差數列．
證明如下：
設等差數列的公差為，則，
所以數列是以為首項，為公差的等差數列．
19．已知，且，求證：．
證明：因為，且，
所以，，要證明原不等式成立，只需證明r，
即證，從而只需證明，
即，因為，，
所以成立，故原不等式成立．
20．用三段論方法證明：．
證明：因為，所以（此處省略了大前提），
所以（兩次省略了大前提，小前提），
同理，，，
三式相加得．
（省略了大前提，小前提）
21．由下列不等式，，，，，你能得到乙個怎樣的一般不等式？並加以證明．
解：根據給出的幾個不等式可以猜想第個不等式，即一般不等式為：
．用數學歸納法證明如下：
（1）當時，，猜想成立；
（2）假設當時，猜想成立，即，
則當時，
，即當時，猜想也正確，所以對任意的，不等式成立．
22．是否存在常數，使得等式對一切正整數都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
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