2023年高考一輪複習「自主·互動」**學案
內容：§11.1 推理與證明課時：2 編號：s3151編寫：孟凡志王安拓使用日期：2014-01-07
【典例剖析】
一、合情推理（模擬推理、歸納推理）
1、某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等於同乙個常數.
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；③（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°；
④sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48°；⑤sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55°。
（1） 試從上述五個式子中選擇乙個，求出這個常數
（2）根據（ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，並證明你的結論.
2、如圖1，若射線om，on上分別存在點m1，m2與點n1，n2，則＝·；如圖2，若不在同一平面內的射線op，oq和or上分別存在點p1，p2，點q1，q2和點r1，r2，則類似的結論是什麼？這個結論正確嗎？說明理由．
3、在平面內，可以用面積法證明下面的結論：從三角形內部任意一點，向各邊引垂線，其長度分別為pa，pb，pc，且相應各邊上的高分別為ha，hb，hc，則有＋＋＝1.
請你運用模擬的方法將此結論推廣到四面體中並證明你的結論．
二、演繹推理
4、在銳角三角形abc中，ad⊥bc，be⊥ac，d、e是垂足．求證：ab的中點m到d、e的距離相等．
三、直接證明（綜合法、分析法）
5、（1）已知a，b，c都是實數，求證：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.
（2）若a，b，c是不全相等的正數，求證：lg＋lg＋lg >lg a＋lg b＋lg c.
四、反證法
6、已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2…)，試證「數列或者對任意正整數n都滿足xnxn＋1」，當此題用反證法否定結論時，應為( )
a．對任意的正整數n，都有xn＝xn＋1b．存在正整數n，使xn＝xn＋1
c．存在正整數n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1 d．存在正整數n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
7、（1）已知a，b，c∈(0,1)．求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時大於.
（2）是否存在實數，使得與均為有理數？給出結論，並證明。
五、數學歸納法
8、 (2011·日照模擬)用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應在n＝k的基礎上加上( )
a．k2＋1 b．(k＋1)2 c. d．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
9、已知f(x)是定義域為正整數集的函式，對於定義域內任意的k，若f(k)≥k2成立，則f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命題成立的是( )
a．若f(3)≥9成立，且對於任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立
b．若f(4)≥16成立，則對於任意的k≥4，均有f(k)c．若f(7)≥49成立，則對於任意的k<7，均有f(k)d．若f(4)＝25成立，則對於任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立
10、（1）若，證明：.
（2）設，求證：.
【針對訓練】
1．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的導函式，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈n＋，則f2 011(x)＝ ( )
a．－sin x－cos x b．sin x－cos x c．－sin x＋cos x d．sin x＋cos x
2．設△abc的三邊長分別為a、b、c，△abc的面積為s，內切圓半徑為r，則r＝；模擬這個結論可知：四面體s－abc的四個面的面積分別為s1、s2、s3、s4，內切球的半徑為r，四面體s－abc的體積為v，則r＝ ( )
a. b. c. d.
3．設s是至少含有兩個元素的集合．在s上定義了乙個二元運算「*」(即對任意的a，b∈s，對於有序元素對(a，b)，在s中有唯一確定的元素a*b與之對應)．若對任意的a，b∈s，有a*(b*a)＝b，則對任意的a，b∈s，下列等式中不恆成立的是
a．(a*b)*a＝a b．[a*(b*a)]*(a*b)＝a c．b*(b*b)＝b d．(a*b)*[b*(a*b)]＝b
4．用反證法證明命題：「若整係數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那麼a，b，c中至少有乙個是偶數」時，下列假設正確的是( )
a．假設a，b，c都是偶數b．假設a、b，c都不是偶數
c．假設a，b，c至多有乙個偶數 d．假設a，b，c至多有兩個偶數
5．對於不等式＜n＋1(n∈n＋)，某同學應用數學歸納法的證明過程如下：
(1)當n＝1時，＜1＋1，不等式成立．
(2)假設當n＝k(k∈n＋)時，不等式成立，
即＜k＋1，
則當n＝k＋1時，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴當n＝k＋1時，不等式成立．
則上述證法( )
a．過程全部正確b．n＝1驗得不正確
c．歸納假設不正確 d．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確
6．用數學歸納法證明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝時，由 n＝k 的假設到證明 n＝k＋1 時，等式左邊應新增的式子是 ( )
a．(k＋1)2＋2k2 b．(k＋1)2＋k2 c．(k＋1)2 d. (k＋1)[2(k＋1)2＋1]
7．設函式，觀察：
根據以上事實，由歸納推理可得：當且時
8．兩點等分單位圓時，有相應正確關係為sin α＋sin(π＋α)＝0；三點等分單位圓時，有相應正確關係為sin α＋sin(α＋)＋sin(α＋)＝0.由此可以推知：四點等分單位圓時的相應正確關係為______．
9．設sn＝＋＋＋…＋(n∈n＋)，且sn＋1·sn＋2＝，則n的值是________．
10．(1)橢圓c：＋＝1(a>b>0)與x軸交於a，b兩點(a在y軸左側)，點p是橢圓c上異於a，b的任意一點，直線pa，pb分別與y軸交於點m，n，求證：·為定值b2－a2.
(2)由(1)模擬可得如下真命題：雙曲線c：－＝1(a>0，b>0)與x軸交於a，b兩點(a在y軸左側)，點p是雙曲線c上異於a，b的任意一點，直線pa，pb分別與y軸交於點m，n，求證：
·為定值．請寫出這個定值．
11．（1）已知數列的通項公式為bn＝n－1.求證：數列中的任意三項不可能成等差數列．
（2）已知都是有理數，也是有理數，證明：都是有理數。
12．設為正整數，。求證：
（1）時，；（2）當時，。
推理與證明
1 已知,由不等式可以推廣為 a.b.c.d.2 已知點列如下則的座標為 a b c d 3 用數學歸納法證明 對於的正整數均成立 時，第一步證明中的起始值應取 a.1 b.3 c.6 d.10 4 設是定義在正整數集上的函式，且滿足 當成立時，總可推出成立 那麼，下列命題總成立的是 若成立，則成立...
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1 用反證法證明命題 三角形的內角中至少有乙個不大於60度 時，反設正確的是 a.假設三內角都不大於60度b.假設三內角都大於60度 c.假設三內角至多有乙個大於60度 d.假設三內角至多有兩個大於60度。2 命題 有些有理數是無限迴圈小數，整數是有理數，所以整數是無限迴圈小數 是假命題，推理錯誤的...
推理與證明
基礎訓練a組 一 選擇題 1 數列 中的等於 a b c d 2 設則 a 都不大於b 都不小於 c 至少有乙個不大於 d 至少有乙個不小於 3 已知正六邊形，在下列表示式 中，與等價的有 a 個 b 個 c 個 d 個 4 函式內 a 只有最大值b 只有最小值 c 只有最大值或只有最小值 d 既有...