推理與證明

第1講合情推理和演繹推理

★知識梳理★

1.推理

根據乙個或幾個事實(或假設)得出乙個判斷,這種思維方式叫推理.

從結構上說,推理一般由兩部分組成,一部分是已知的事實(或假設)叫做前提,一部分是由已知推出的判斷,叫結論.

2、合情推理:

根據已有的事實,經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、模擬，然後提出的推理叫合情推理。

合情推理可分為歸納推理和模擬推理兩類：

（1）歸納推理：由某類事物的部分物件具有某些特徵，推出該類事物的全部物件具有這些特徵的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理

（2）模擬推理：由兩類物件具有某些類似特徵和其中一類物件具有的某些已知特徵，推出另一類物件也具有這些特徵的推理，簡言之，模擬推理是由特殊到特殊的推理。

3.演繹推理:

從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論的推理叫演繹推理，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。三段論是演繹推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情況；（3）結論——根據一般原理，對特殊情況作出的判斷。

★重難點突破★

重點:會用合情推理提出猜想,會用演繹推理進行推理論證,明確合情推理與演繹推理的區別與聯絡

難點:發現兩類物件的類似特徵、在部分物件中尋找共同特徵或規律

重難點：利用合情推理的原理提出猜想，利用演繹推理的形式進行證明

1、歸納推理關鍵是要在部分物件中尋找共同特徵或某種規律性

問題1：觀察：；；；….對於任意正實數，試寫出使成立的乙個條件可以是

點撥：前面所列式子的共同特徵特徵是被開方數之和為22，故

2、模擬推理關鍵是要尋找兩類物件的類似特徵

問題2：已知拋物線有性質：過拋物線的焦點作一直線與拋物線交於、兩點，則當與拋物線的對稱軸垂直時，的長度最短；試將上述命題模擬到其他曲線，寫出相應的乙個真命題為

點撥：圓錐曲線有很多類似性質，「通徑」最短是其中之一，答案可以填：過橢圓的焦點作一直線與橢圓交於、兩點，則當與橢圓的長軸垂直時，的長度最短（）

3、運用演繹推理的推理形式(三段論)進行推理

問題3：定義[x]為不超過x的最大整數，則[-2.1

點撥：「大前提」是在找最大整數，所以[-2.1]=-3

★熱點考點題型探析★

考點1 合情推理

題型1 用歸納推理發現規律

[例1 ] 通過觀察下列等式，猜想出乙個一般性的結論，並證明結論的真假。

；；；【解題思路】注意觀察四個式子的共同特徵或規律（1）結構的一致性,（2）觀察角的「共性」

[解析]猜想：

證明：左邊=

==右邊

【名師指引】（1）先猜後證是一種常見題型

（2）歸納推理的一些常見形式：一是「具有共同特徵型」，二是「遞推型」，三是「迴圈型」（週期性）

[例2 ] (09深圳九校聯考)蜜蜂被認為是自然界中最傑出的建築師，單個蜂

巢可以近似地看作是乙個正六邊形，如圖為一組蜂

巢的截面圖. 其中第乙個圖有1個蜂巢，第二個圖

有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以

表示第幅圖的蜂巢總數.則

【解題思路】找出的關係式

[解析]

【名師指引】處理「遞推型」問題的方法之一是尋找相鄰兩組資料的關係

題型2 用模擬推理猜想新的命題

[例1 ] (2008韶關調研)已知正三角形內切圓的半徑是高的，把這個結論推廣到空間正四面體，類似的結論是______.

【解題思路】從方法的模擬入手

[解析]原問題的解法為等面積法，即，模擬問題的解法應為等體積法，即正四面體的內切球的半徑是高

【名師指引】（1）不僅要注意形式的模擬，還要注意方法的模擬

（2）模擬推理常見的情形有：平面向空間模擬；低維向高維模擬；等差數列與等比數列模擬；實數集的性質向複數集的性質模擬；圓錐曲線間的模擬等

[例2 ] 在中,若,則,用模擬的方法,猜想三稜錐的類似性質,並證明你的猜想

【解題思路】考慮兩條直角邊互相垂直如何模擬到空間以及兩條直角邊與斜邊所成的角如何模擬到空間

[解析]由平面模擬到空間,有如下猜想:「在三稜錐中，三個側面兩兩垂直，且與底面所成的角分別為，則」

證明：設在平面的射影為，延長交於，記

由得，從而，又

，，即

【名師指引】（1）找兩類物件的對應元素，如：三角形對應三稜錐，圓對應球，面積對應體積，平面上的角對應空間角等等；（2）找對應元素的對應關係，如：兩條邊（直線）垂直對應線面垂直或麵麵垂直，邊相等對應面積相等

考點2 演繹推理

題型:利用「三段論」進行推理

[例1 ] （07啟東中學模擬）某校對文明班的評選設計了五個方面的多元評價指標，並通過經驗公式樣來計算各班的綜合得分，s的值越高則評價效果越好，若某班在自測過程中各項指標顯示出，則下階段要把其中乙個指標的值增加1個單位，而使得s的值增加最多，那麼該指標應為填入中的某個字母）

【解題思路】從分式的性質中尋找s值的變化規律

[解析] 因都為正數，故分子越大或分母越小時， s的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小時，s的值增長越多，，所以c增大1個單位會使得s的值增加最多

【名師指引】此題的大前提是隱含的，需要經過思考才能得到

[例2 ] （03上海）已知集合m是滿足下列性質的函式f(x)的全體：存在非零常數t，對任意x∈r，有f(x+t)=t f(x)成立.

（1）函式f(x)= x 是否屬於集合m？說明理由；

（2）設函式f(x)=ax（a>0,且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明： f(x)=ax∈m；

（3）若函式f(x)=sinkx∈m ,求實數k的取值範圍.

【解題思路】函式f(x)是否屬於集合m，要看f(x)是否滿足集合m的「定義」，

[解]（1）對於非零常數t，f(x+t)=x+t, tf(x)=tx. 因為對任意x∈r，x+t= tx不能恆成立，所以f(x)=

（2）因為函式f(x)=ax（a>0且a≠1）的圖象與函式y=x的圖象有公共點，

所以方程組：有解，消去y得ax=x,

顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數t，使at=t.

於是對於f(x)=ax有故f(x)=ax∈m.

（3）當k=0時，f(x)=0，顯然f(x)=0∈m.

當k≠0時，因為f(x)=sinkx∈m，所以存在非零常數t，對任意x∈r，有

f(x+t)=t f(x)成立，即sin(kx+kt)=tsinkx .

因為k≠0，且x∈r，所以kx∈r，kx+kt∈r，

於是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kt) ∈[－1，1]，

故要使sin(kx+kt)=tsinkx .成立，

只有t=，當t=1時，sin(kx+k)=sinkx 成立，則k=2mπ, m∈z .

當t=－1時，sin(kx－k)=－sinkx 成立，

即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，

則－k+π=2mπ, m∈z ，即k=－2(m－1) π, m∈z .

實數k的取值範圍是

【名師指引】學會緊扣「定義」解題

第2講直接證明與間接證明

★知識梳理★

三種證明方法的定義與步驟：

1. 綜合法是由原因推導到結果的證明方法，它是利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立的證明方法。

2. 分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求推證過程中，使每一步結論成立的充分條件，直到最後，把要證明的結論歸結為判定乙個明顯成立的條件（已知條件、定義、公理、定理等）為止的證明方法。

3.假設原命題的結論不成立,經過正確的推理,最後得出矛盾,由此說明假設錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的方法叫反證法；它是一種間接的證明方法.用這種方法證明乙個命題的一般步驟：

(1) 假設命題的結論不成立； (2) 根據假設進行推理,直到推理中匯出矛盾為止

(3) 斷言假設不成立(4) 肯定原命題的結論成立

★重難點突破★

重點：能熟練運用三種證明方法分析問題或證明數學命題

難點：運用三種方法提高分析問題和解決問題的能力

重難點：在函式、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數學問題中，選擇好證明方法並運用三種證明方法分析問題或證明數學命題

1.從命題的特點、形式去選擇證明方法

①一般地，結論中出現「至多」「至少」「唯一」等詞語，或否定性命題，或要討論的情況很複雜的，可以考慮用反證法②一般地，含分式、根式的不等式，或從條件出發思路不明顯的命題，可以考慮用分析法③命題的結論有明確的證明方向的，適宜用綜合法

問題1：對於任意非零實數，等式總不成立

點撥：從命題的形式特點看，適合用反證法證明

2.比較複雜的命題，有時需要多種證明方法綜合運用，各取所長。

★熱點考點題型探析★

考點1 綜合法

題型：用綜合法證明數學命題

[例1 ] (東莞2007—2008學年度第一學期高三調研測試)

對於定義域為的函式，如果同時滿足以下三條：①對任意的，總有；②；③若，都有成立，則稱函式為理想函式．

(1) 若函式為理想函式，求的值；

(2)判斷函式（）是否為理想函式，並予以證明；

【解題思路】證明函式（）滿足三個條件

[解析]（1）取可得．

又由條件①，故．

（2）顯然在[0，1]滿足條件①；

也滿足條件②．若，，，則

，即滿足條件③，

故理想函式．

【名師指引】緊扣定義，逐個驗證

【新題導練】

1.(2023年佛山)證明:若,則

[解析]當時，，

兩邊取對數，得，又當時

2.在銳角三角形中,求證:

[解析]為銳角三角形，，

在上是增函式，

同理可得，

3. .已知數列中各項為： 12、1122、111222、……、 ……,證明這個數列中的每一項都是兩個相鄰整數的積.

[解析]

推理與證明

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