作者：曾富
(1)：哈佛大學講座教授、美國科學院院士、中國科學院外籍院士丘成桐2023年6月3日在北京宣布：經美俄中數學家30多年的共同努力，兩位中國數學家---中山大學的朱熹平教授和美國裡海大學教授及清華大學講席教授曹懷東，最終證明了百年數學難題---龐加萊猜想。
我們等待了40多年的龐加萊猜想證明，終於等到了，因此我們想說：向朱熹平和曹懷東學習！向朱熹平和曹懷東致敬！
龐加萊是法國數學家，2023年他在一組**中提出有關空間幾何結構的猜想，但2023年發現提法中有錯誤，並對之進行了修改，這就是龐加萊猜想：在乙個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮成一點，那麼這個空間一定是乙個三維的圓球。後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為高維龐加萊猜想。
丘成桐院士認為，龐加萊猜想和三維空間幾何化的問題是幾何領域的主流，它的證明將會對數學界流形性質的認識，甚至用數學語言描述宇宙空間產生重要影響。
龐加萊猜想證明對用數學語言描述宇宙空間產生重要影響，我們可舉在超弦理論上的應用來說明。
首先我們要對龐加萊猜想的點作乙個約定：龐加萊猜想中的點可以指數軸、座標、直線、曲線、平面、曲面等等數學空間的數值點、標點、原點、奇點、焦點、鞍點、結點、中心點......而不能指我們說的曲點和點內空間的點，不然就會產生矛盾。
因為我們說的曲點，是指環圈面、圓環面收縮成的一點，以及環繞數收縮成的一點---如圈是繩一致分布中間沒有打結的封閉線；在這種紐結理論定義中，兩個圈套圈的紐結，有乙個交點；如果這種圈套圈有兩次紐合，圈套圈的紐結點就包含了環繞數，把有乙個以上環繞數的圈套圈，緊緻化到乙個交點，就是乙個曲點。即曲點最直觀的數學模型，是指包含環繞數的點。而我們說的點內空間的點，是指虛數一類虛擬空間內的點。
如果把在乙個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮成一點，那麼這個空間一定是乙個三維的圓球稱為龐加萊猜想正定理，那麼曲點和點內空間正是**於龐加萊猜想之外還有的乙個龐加萊猜想：在乙個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮成類似一點，其中只要有一點是曲點，那麼這個空間就不一定是乙個三維的圓球，而可能是乙個三維的環麵---我們稱為龐加萊猜想逆定理。龐加萊猜想至少有兩個**---乙個是函式論，乙個是代數拓撲學。
即有人認為，19世紀是函式論的世紀，龐加萊因發明自守函式而使函式論的世紀大放異彩的。所謂自守函式，就是在某些變換群的變換下保持不變的函式。自守函式是圓函式、雙曲函式、橢圓函式以及初等分析中其它函式的推廣。
自守函式今天已包括那些在變換群或這個群的某些子群作用下的不變函式。此外，在復平面的任何有限部分上，這個群完全是不連續的。龐加萊把分式變換群擴充到復係數的情況，並考慮了這種群的幾種型別，他把這種群叫克萊因群。
對這些克萊因群，龐加萊得到了新的自守函式，即在克萊因群變換下不變的函式，龐加萊把它叫做克萊因函式。此後，龐加萊指出如何借助於克萊因函式表示僅有正則奇點的代數係數的n階線性方程的積分。自守函式提供了具有某種奇點的解析函式的頭一批例子，它們的奇點構成非稠密的完備集或奇點的曲線。
代數曲線的參考化定理也是自守函式論的乙個結果，它促使龐加萊在2023年匯出一般的單值化定理，這等價於存在由任意連通、非緊緻黎曼面到復平面或開圓盤的共形映像。
其次，龐加萊是代數拓撲學(組合拓撲學)的奠基人，最先系統而普遍地**了幾何學圖形的組合理論。現在稱之為單形的同調論的一整套方法完全是龐加萊的發明創造---其中有流形的三角剖分、單純復合形、重心重分、對偶復合形、復合形的關聯係數矩陣等概念以及從該矩陣計算貝蒂)數的方法。籍助這些方法，龐加萊發現關於流形的同調的著名的對偶定理；定義了基本群(第乙個同倫群)，並證明它與一維貝蒂數的關係，還把貝蒂數和微分形式的積分聯絡在一起，以及尤拉多面體定理的推廣---現稱之為尤拉—龐加萊公式：
x(d)=f-e+v(1)
這個式子的右邊是和三角剖分的方式有關，但實際上x(d)和剖分的方式無關，它是曲面的乙個拓撲不變數。對於緊緻曲面，邊界曲線不出現，仍然可以作三角剖分，因可求得：(1)球面：x=2；
(2)環麵：x=0；
(3)2個洞的曲面：x=-2；
(4)n個洞的曲面：x=-2(n-1)。
根據拓撲學的定理可知，任何定向的2維緊緻曲面的尤拉--龐加萊示性數總是取2，0，-2，…，-2n，…中的乙個，而且示性數相同的緊緻曲面同胚。因此，x就完全給出了定向的緊緻曲面的拓撲分類。稱為s的虧格，即s的洞數。
因此，可以求出：球面的虧格為0，環麵的虧格為1，這也是球面與環麵不同倫的區別。
虧格涉及事物的整體性質，20世紀以來，人們對整體性質研究得非常多，但其實很多性質仍然是從子系統的研究得出的。微分幾何和拓撲學首先注意到，許多曲面，如球面，環麵，橢球面，單葉雙曲面，雙葉雙曲面等，都是乙個整個，除了它們各個小片所具有的幾何性質外，還有整個曲面所具有的幾何性質，稱為整體性質。比如說，球面的任何一條測地線都是閉曲線(大圓)，又如平面上任何一條測地線(直線)可以無限延伸，這就是整體性質。
設u為2維歐氏空間的乙個矩形區域(ar(u，v)=(x(u，v)，y(u，v)，z(u，v))(2)
s是這個映照的像。球面、環麵都是緊緻的，而平面則是非緊緻的。一般地，曲線可能穿過若干個座標區域，那麼在每一座標區域中都可有它自己的表示式，在每個區域中的部分，就可以計算出它的弧長。
假設d是s上的乙個區域，它的邊界是由互不相交的n條簡單的分段光滑閉曲線所組成；這些弧之間除連線點外沒有交點，由拓撲學可知，可以把d三角剖分，即把d分割成許多以3條曲線段為邊界的曲面三角形。如果所考察的曲面是定向的，設法線方向為大拇指方向，依右手規則可以定出每一三角形的邊界的定向，這時內部邊界的定向剛好相互抵消。經過這樣剖分後得出3個數：
f是三角形的個數，e是邊的條數，v是頂點的個數，它們就是前面尤拉-龐加萊示性數(1)中符號表示。
正是龐加萊提出的虧格表示的洞數，直指龐加萊猜想正定理和龐加萊猜想逆定理；也直指超弦理論中構造的開弦和閉弦這兩個不同的龐加萊猜想版本。因為按龐加萊猜想在乙個三維空間中，開弦曲線及其開弦運動形成的2維膜上的每一條封閉的曲線，都能收縮成一點，因此它們形成的空間是類似同倫、同調、同胚於乙個三維的圓球的；相反，閉弦曲線及其閉弦運動形成的2維膜上的每一條封閉的曲線，都不能收縮成乙個龐加萊猜想點，因此它們形成的空間不是類似同倫、同調、同胚於乙個三維的圓球，而是類似我們說的曲點。
(2)、龐加萊猜想證明封頂，對解決超弦理論和圈量子引力理論的統一帶來了曙光。道理就在單孔收縮與雙孔收縮的性質不一樣，其統一路線圖如下。
1、龐加萊猜想證明揭示了點有3種實在論的性質，可聯絡宇宙中的物質、能量和資訊3個要素。例如，在一張紙頁上放一粒沙(類似實物)，是乙個點；在紙上打個針孔眼(類似破裂、虛空)，是乙個點；在紙上作個筆尖墨跡印子(類似中性)，是乙個點。物質類實，可對應粒沙點；能量類虛，可對應針孔點；資訊類中性，可對應墨跡點。
所以對龐加萊猜想中的點首先要作個約定，證明才不會有矛盾。即約定：粒沙點和墨跡點是歸屬龐加萊猜想點；而針孔點是歸屬我們說的曲點。
其次，數學要考慮形式上的構造，也要考慮實際意義，對龐加萊猜想中的收縮也要作個約定：它類似連續統假設。所謂連續統假設指：
在可數集基數和實數集基數之間再沒有別的基數。但中國古人對於無限的認識有一日之棰，日取其半，萬世不竭；又有至大無外，至小無內。連續統假設建立在明確集合元素的意義和集合之間的關係是否相容，現有了連續統的收縮假設，就用不著反覆討論，否則可以無限的分下去，用老話講就叫不著邊不靠譜。
2、用龐加萊猜想證明分析超弦理論並列構造的開弦、閉弦兩個不同的龐加萊猜想版本，即開弦是對應在三維空間中，開弦曲線及其開弦運動形成的膜上的每一條封閉的曲線都能收縮成龐加萊猜想點，因此是類似龐加萊猜想正定理對應的乙個三維的圓球；而閉弦曲線及其閉弦運動形成的膜上的每一條封閉的曲線都不能收縮成龐加萊猜想點，因此是類似龐加萊猜想逆定理對應的乙個三維的曲點。在超弦理論中開弦和閉弦是如何統一的呢？它是避開了龐加萊猜想這個程式，直接跳入軌形拓撲這個程式才解決的。
因為在有弦論之前，就有kaluza-klein理論考慮過有可能實際的空間是超過三維的：一加一維的弦運動出來的這個曲面，存在的2維空間像乙個管子一樣，假設這個管子很細的話，在管子的截面方向上均勻地分布的就是微小圈。把它變成三維跟2維的模擬的話，就是有兩個三維的空間，但是其中乙個方向是被限制在乙個很小的範圍上，也許這個很小的距離加上週期的邊界條件，要求所有的物理量都有週期性的性質。
但是為什麼可以假設大部分的東西都是在這個小的維度上均勻地分布呢？
3、用龐加萊猜想證明的分析，不但能分出了開弦與閉弦的對立，也能分出三維空間與額外維空間以及巨集觀與微觀的定量區別。因為早在龐加萊猜想誕生之前，人們已經開始注意到了龐加萊猜想中的連續與間斷的共軛與區別，特別是19世紀末玻爾茲曼的烏託子球原子論對應龐加萊猜想的乙個三維的圓球，能令人滿意地解釋固體、液體、氣體和等離子的許多性質，用其中的波爾茲曼常數能推出每立公尺中某種空氣的原子(分子)數，為巨集觀與微觀作出第乙個的定量區別，從而加深了巨集觀與微觀中粒子與波場的對立。
4、第2是在20世紀後的電子和光子等微觀粒子的雙縫實驗中，龐加萊猜想球與龐加萊猜想孔在單縫實驗中的粒子與波場的對立並不明顯，從而加深了龐加萊猜想對巨集觀與微觀的再認識：即龐加萊猜想雖然把時空中分成了連續與間斷的共軛，但在只有乙個龐加萊猜想孔的間斷空間內，龐加萊猜想是等價的，即在間斷的空間也能收縮成一點；但在雙縫實驗類似有兩個龐加萊猜想孔的情況下，連續與間斷不能相容，三維與額外維就以粒子與波場對立的機率幅的定量形式顯示出來了。
5、第3是把單縫和雙縫的縫寬與蒲朗克尺度作比較，電子等粒子的半徑在大約10的-12次方厘公尺到10的-15次方厘公尺對應的縫寬範圍，動量和位置出現的不確定性顯示的量子干擾，是確定巨集觀與微觀的又一定量區別；而且粒子的物質性與粒子的能量性的區別，定量地顯示出能利用龐加萊猜想反證的曲點，按戴德金的分割觀點建構量子化---曲點自旋分割，產生時空和質能量子化曲點，沿相反方向的趨勢飛散。其次，也不能再把時空曲點和質能曲點當成是單獨的一樣東西；量子化由時間曲點和空間曲點對組成時空曲點群、質量曲點和能量曲點對組成質能曲點群。
6、於是再通過著名物理學家費曼拓展雙縫實驗建立的量子路徑求和概念，就可以把超弦理論和圈量子引力理論的統一起來：費曼關於量子振幅的路徑求和觀點是：a、原始的雙縫實驗，電子有兩條可能的路徑。
b、源與探測器之間有兩塊屏，屏上共有5條縫，可能的路徑數目現在變成了6。c、插入更多的螢幕，每塊螢幕上刻更多的縫，最後就跟完全沒有螢幕一樣，電子從源s到探測屏d的總機率幅就變成了所有可能路徑的求和。把費曼以上觀點變成龐加萊猜想證明就是，a、原始的雙縫實驗，是兩個龐加萊猜想孔式的曲點，電子有兩條可能的路徑。
b、源與探測器之間有兩塊屏，屏上共有5條縫，是5個龐加萊猜想孔式的曲點，可能的路徑數目現在變成了6。c、插入更多的螢幕，每塊螢幕上刻更多的縫，類似時空全都是由曲點組成，最後時空就跟完全沒有螢幕一樣，電子從源s到探測屏d的總機率幅就變成了所有可能路徑的求和。這個總機率幅是所有可能路徑的求和，叫做超弦理論或圈量子引力理論的作用量，它是時空與質能內稟的度規和位置的矩陣的泛函，即可推出與現在超弦理論或圈量子引力理論相似的作用量公式。
關於龐加萊猜想的再思考
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問題2 數列的通項公式，計算的值，可以得到什麼結論？學生回答 該數列的前四項都是1，猜測該數列的所有項都是1，這是錯誤的結論，該數列第五項是25。解決以上兩個問題用的都是歸納法 用一些特殊事例推出一般結論。為什麼問題1的結論正確，問題2的結論錯誤呢？這是因為問題1中，一共10個球，全部看了一遍，結論...
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