數學高考綜合能力題選講8
100080 北京中國人民大學附中梁麗平
題型**
觀察、歸納、猜想、證明是解決探索性問題的重要思維方法,也是高考考查的熱點.
範例選講
例1.已知數列滿足,對於任意的n∈n,都有>0,且.又知數列滿足:.
(ⅰ)求數列的通項以及它的前n項和;
(ⅱ)求數列的前n項和;
(ⅲ)猜想和的大小關係,並說明理由.
講解:是關於的二次齊次式,故可利用求根公式得到的更為明顯的關係式,從而求出.
(ⅰ)∵ >0(n∈n),且,
∴ (n+1).
∴ .∵ >0(n∈n),∴ .即.
∴ .又,所以,.∴ .
(ⅲ).
當n=1時,, ∴;
當n=2時,, ∴;
當n=3時,, ∴;
當n=4時,, ∴;
當n=5時,, ∴;
當n=6時,, ∴;
猜想:當時,.即.下用數學歸納法證明:
1° 當n=5時,前面已驗證成立;
2° 假設(k≥5)時命題成立,即成立,那麼當n=k+1(k≥5)時,
.即n=k+1(k≥5)時命題也成立.
由以上1°、2°可知,當n≥5時,有;
綜上可知:當n=1時,;當時,,當n≥5時,有.
點評:注意到的增長速度大於的增長速度,所以,在觀察與歸納的過程中,不能因為從n=1到n=4都有就得出的結論,而應該堅信:必存在,使得,從而使得觀察的過程繼續下去.
例2 已知數列中,.
(ⅰ)是否存在自然數m,使得當時,;當時,?
(ⅱ)是否存在自然數p,使得當時,總有?
講解:(ⅰ)首先考慮能否化簡已知條件,但事實上這一條路走不通,於是,我們轉而考慮通過計算一些的值來尋找規律.不難得到:
,,,,,,
可以看出:均大於2,從到均小於2,但能否由此斷定當時,也有?這就引導我們去思考這樣乙個問題:若,能否得出?
為此,我們考查與的關係,易得
.可以看出:當時,必有.於是,我們可以確定:當時,必有.
為了解決問題(ⅰ),我們還需驗證當時,是否均有.
方法之一是一一驗證.即通過已知條件解出:.由此,我們可以從出發,計算出這個數列的第6項到第1項,從而得出結論.
另外,得益於上述解法,我們也可考慮這樣問題:「若,能否得出」?
由不難得知:上述結論是正確的.
所以,存在,使得當時,;當時,.
(ⅱ)問題等價於:是否存在自然數p,使得當時,總有.
由(ⅰ)可得:.
我們已經知道:當時,,於是,所以,我們只需考慮:是否存在不小於10的自然數p,使得當時,總有?
觀察前面計算的結果,可以看出: ,均大於-3,可以猜想: 即可滿足條件.
這樣的猜想是否正確?我們只需考查與的關係:
由可知:上述結論正確.
另外,如果我們注意到從到,數列項呈遞增的趨勢,則也可以考慮.
由〉0,從而得出結論.
點評:(1)歸納、猜想是建立在細緻觀察和縝密分析基礎上的,並非無源之水、無本之木.
(2)上述分析過程如果用數學歸納法寫出,則相當簡潔,但同時也掩蓋了思維的過程.
高考真題
(2023年全國高考)已知數列是等差數列,=1,.
①求數列的通項;
②設數列的通項= (其中且≠1),記是數列的前n項和.試比較與的大小,並證明你的結論.
(2023年全國高考)設數列滿足:
當時,求,並由此猜想出的乙個通項公式;
當時,證明對所有的,有
(i);
(ii).
[答案與提示:1.(1). (2)當時,>;當時,<. 2.(1),(2)略.]
第08講歸納 猜想 證明
歸納 猜想 證明 100080 北京中國人民大學附中梁麗平 題型 觀察 歸納 猜想 證明是解決探索性問題的重要思維方法,也是高考考查的熱點 範例選講 例1 已知數列滿足,對於任意的n n,都有 0,且.又知數列滿足 求數列的通項以及它的前n項和 求數列的前n項和 猜想和的大小關係,並說明理由.講解 ...
第1講觀察歸納與猜想
5用火柴棒按下圖的方式搭三角形 1 填寫下表 2 照這樣下去,搭n個這樣的三角形需要多少根火柴棒?數學家故事 四色定理 證明是乙個偶像,數學家在這個偶像前折磨自己。一次拓撲課,minkowski 閔可夫斯基 向學生們自負的宣稱 這個定理沒有證明的最要的原因是至今只有一些三流的數學家在這上面花過時間。...
歸納猜想證明
問題2 數列的通項公式,計算的值,可以得到什麼結論?學生回答 該數列的前四項都是1,猜測該數列的所有項都是1,這是錯誤的結論,該數列第五項是25。解決以上兩個問題用的都是歸納法 用一些特殊事例推出一般結論。為什麼問題1的結論正確,問題2的結論錯誤呢?這是因為問題1中,一共10個球,全部看了一遍,結論...