第7課歸納、猜想與證明
※考綱鏈結
（1）了解合情推理的含義，能利用歸納和模擬等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用；
（2）了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，並能運用它們進行一些簡單推理；
（3）解合情推理和演繹推理之間的聯絡和差異.
【課前自主**】
※ 教材回歸
◎基礎重現：
1.合情推理
(1)合情推理：前提為真時，結論可能為真的推理叫做推理與推理是兩種常用的合情推理.
(2)歸納推理：根據一類事物的部分物件具有某種性質，推出這類事物的所有物件都具有這種性質的推理，叫做歸納推理，歸納推理的主要特點是：①由到 ；②具有猜測的性質，不能作為數學證明的工具.
(3)模擬推理：根據兩類不同事物之間具有某種類似(或一致)性，推出其中一類事物具有與另一類事物類似(或相同)的性質的推理叫做模擬推理，運用模擬推理的一般步驟是：①找出兩種事物之間的相似性或一致性；②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出乙個明確的命題(猜想).
2. 演繹推理
(1)演繹推理：根據一般性的真命題(或邏輯規則)匯出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理，演繹推理的主要特點是當前提為真時，結論必然為真.
(2)三段論推理：如果乙個推理規則能用符號表示為「若」,那麼這種推理規則叫做三段論推理，演繹推理常按照三段論推理進行.
(3)合情推理與演繹推理的區別是：歸納和模擬是常用的合情推理，從形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理，模擬是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由到
的推理.從推理所得結論來看，合情推理所得的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確.
基礎重現答案：1.（1）合情推理；歸納、模擬.（2）特殊、一般.
2. (3)一般、特殊．
◎思維昇華：
1.模擬是乙個偉大的引路人．我們知道，等差數列和等比數列有許多相似的性質，請閱讀下
表並根據等差數列的結論，類似的得出等比數列的兩個結論：
2. 觀察下列等式，並從中歸納出一般結論：
，，，，……．
3．若從點發出兩條射線、上分別有點、與點、，則三角形面積之比為，若從點所作的不在同一平面內的三條射線、、上分別有點、,點、和點、，則模擬結論為 ．
思維昇華答案：1. ，．
2.．3..
※ 基礎自測
1. 某同學在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示按這種規律往下排，那麼第36個圓的顏色應是
答案：白色解析：由黑白圓排列的規律知三白兩黑為一組，由知，第個是白色的．
2. 由＞,＞,＞,…若a＞b＞0,m＞0，則與之間的大小關係為
答案：＞解析：將已知＞,＞,＞改寫為＞,＞,＞，可猜想出＞．
3. （2010揭陽二模）在空間，到定點的距離為定長的點的集合稱為球面．定點叫做球心，定長叫做球面的半徑．平面內，以點為圓心，以為半徑的圓的方程為，類似的在空間以點為球心，以為半徑的球面方程為
答案：解析：設是球面上任一點，由空間兩點的距離公式可得，即．
4. （2023年佛山質檢一）將側稜相互垂直的三稜錐稱為「直角三稜錐」，三稜錐的側面和
底面分別叫直角三稜錐的「直角面和斜面」.直角三角形具有性質：「兩條直角邊邊長的平方和
等於斜邊邊長的平方」.仿照此性質寫出直角三稜錐具有的性質
答案：直角三稜錐中，三個直角面面積的平方和等於斜面面積的平方．解析：由於立幾與平幾模擬時，平幾中的線長與立幾中面積模擬，所以直角三稜錐中，三個直角面面積的平方和等於斜面面積的平方．
5. 一切奇數都不能被2整除，是奇數，所以不能被2整除，其演繹推理的「三段論」的形式是什麼？
答案： 一切奇數都不能被2整除大前提
是奇數小前提
所以不能被2整除結論
【課堂師生共探】
※ 經典例題
○題型一歸納推理
例1在矩形紙片內有個點，連同矩形的4個頂點共個點，這個點中無3點共線，以這些點作三角形的頂點，把矩形紙片剪成若干個三角形，這些三角形紙片的個數記為.
(1)求；
(2)求中之間的關係；
分析：先求出，再歸納出之間的關係．
解：(1).
(2)因為這個點中無3 點共線 ，所以每增加一點剪成三角形的紙片必新增加3個，但減少了原來的乙個，實際上增加了2個，所以數列的遞推關係為.
點評：由歸納推理得到一般結論，在數列中應用十分廣泛.
變式訓練觀察下列兩式： ；
.分析上面的兩式的共同特點，寫出反映一般規律的等式．
解析：由題設中的兩式中的角度可以看出，這兩個三角式中三個角的和均為900，且為輪換等式，從而可以作出猜想．一般規律的等式是：若，
則.○題型二模擬推理
例2 已知rt△abc的內切圓半徑(是直角邊長);那麼,在有乙個頂點p處側稜相互垂直的三稜錐中,記rt△pab,rt△pbc,rt△pac的面積分別為,猜測這個三稜錐的內切球半徑的表示式,並證明.
分析：從平幾到立幾的模擬，常常將線與面模擬，將線長與面積進行模擬．同時注意求解方法也可模擬，rt△abc中運用等面積法得到，因此可以考慮在三稜錐運用等體積法探求的表示式．
解:猜測．
證明:在四面體中,設球心, ,由條件得:,
所以,∴.令，則．
又, ,.三式相乘得,
所以.∴,又
所以.點評：１．模擬的途徑有「從平幾到立幾」、「從平幾到解幾」、 「從數列到函式」、「從有限到無限」等．另外對於模擬,除了會作「形式」的模擬外,還要注意驗證與論證,才能使這個模擬成為「有意義」的模擬.
２．關於空間問題與平面問題的模擬，通常可抓住幾何要素的如下對應關係作對比：
多面體多邊形麵邊
體積面積二面角平面角
面積線段長
變式訓練：在△def中有餘弦定理：.拓展到空間，模擬三角形的餘弦定理，寫出斜三稜柱的3個側面面積與其中2個側面所成二面角之間的關係式，並予以證明.
解析：根據模擬猜想得出.其中為側面所成的二面角的平面角.
作斜三稜柱的直截面def，則為平面所成的角.在△def中有餘弦定理：，兩邊同乘以，得，即
.○題型三演繹推理
例3 如圖：在銳角三角形中，，、是垂足，求證： 的中點到、的距離相等．
分析：本題重點在兩個垂直條件的應用上，通過什麼關係才能把dm與em聯絡起來呢？
解：⑴因為有乙個是直角的三角形是直角三角形 （大前提）
在中，，而（小前提）
所以是直角三角形結論）
同理是直角三角形
⑵因為直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半大前提）
m是斜邊ab的中點，dm是斜邊上的中線 （小前提）
所以dm結論）
同理em=
所以dm＝em．
點評：解題時，當大前題比較明顯時，一般情況下會省略大前題，但不能認為大前題不重要若可不要．
變式訓練：如右圖，、、分別是、、上的點，，，求證：．
證明：（1）同位角相等，兩直線平行，（大前題）
與是同位角，且（小前題）
所以， （結論）
（2）兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形，（大前題）
（小前題）
所以，四邊形是平行四邊形 （結論）
（3）平行四邊形的對邊相等，（大前題）
和是平行四邊形的對邊，（小前題）
所以， （結論）
上面的證明通常簡略地表述為：
．※高考新題零距離
1. （2010·浙江高考題）設
，將的最小值記為，則
其中解析：本題主要考察了合情推理，利用歸納和模擬進行簡單的推理，屬容易題，易得：．
2. （2010·浙江高考題）在如下數表中，已知每行、每列中的樹都成等差數列，那麼，位於下表中的第n行第n+1列的數是 ．
解析：第n行第一列的數為n，觀察得，第n行的公差為n，所以第n0行的通項公式為
，又因為為第n+1列，故可得答案為，本題主要考察了等差數列的概念和通項公式，以及運用等差關係解決問題的能力，屬中檔題
※典型錯誤警示
1.歸納推理得出的結論應符合所給的全部條件．如根據數列的前５項：３，５，９，17，33寫出乙個通項公式時錯解為：
．這裡得出的通項並不符合前５項，所以這樣的推理沒有任何意義，不叫歸納推理．
2.模擬推理時，易錯的是當兩類事物不具有可比性時而進行模擬．如實數加法的分配律與三角中和角的運算律就不能進行模擬，因為實數加法與三角中和角的運算本質上不是相同的運算．
3.演繹推理過程中易錯在大前題不正確．「會動的物體就是動物」就不能用作推理的依據．
◎典型錯題反思
反思是自覺地對數學認知活動進行分析、總結、評價和調控的過程，是一種自我挑戰、自我完善和自我超越，是優化解法、深化思維的有效手段，是高效的學習方法、最佳的糾錯手段，是走出「題海」的最有效途徑.
請整理出本課時的典型錯誤，找出錯因，並從審題、知識、方法和策略的層面進行反思！
※學以致用
第7課時歸納、猜想與證明
[基礎級]
1．下列推理是歸納推理的是填序號）.
①、為定點，動點滿足，得的軌跡為橢圓
②由，，求出，猜想出數列的前項和的表示式
③由圓的面，猜想出橢圓的面積
④科學家利用魚的沉浮原理製造潛艇
答案：② 解析：①是演繹推理；②是歸納推理；③、④是模擬推理．
2. 設f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈n，則f2012(x)＝
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