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專題——三角形
【基礎知識】
1、全等三角形
（1）定義： 能夠完全的三角形是全等三角形。
（2）性質：全等三角形的相等。
（3）判定：「sas
三邊 ：邊邊邊（sss）
兩邊: 邊角邊（sas）
一邊邊角邊（asa）
角角邊（aas）
※※注：ssa,aaa不能作為判定三角形全等的方法，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角相等時，角必須是兩邊的夾角
※※證題的思路：
注意：公共邊、公共角、對頂角、最長的邊（或最大的角）、最短的邊（或最小的角）
2、等腰三角形
（1）定義：有兩條的三角形是等腰三角形。
（2）性質：①等腰三角形的相等。（「等邊對等角」）
②等腰三角形的頂角平分線互相重合。
（3）判定：①定義
3、等邊三角形
（1） 定義的三角形是等邊三角形。
（2）性質：①三角都等於
具有等腰三角形的一切性質。
（3）判定：①定義
三個角都相等的三角形是等邊三角形
有乙個角是等邊三角形。
4、線段的垂直平分線
（1）線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等
（2）到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上
5、角平分線
（1）角平分線上的點到這個叫的兩邊的距離相等
（2） 在乙個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上
6、直角三角形
(1)定理：在直角三角形中，如果乙個銳角是30度，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
(2)勾股定理及其逆定理
直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方
如果三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形是直角三角形
（3）「斜邊、直角邊」或「hl」
直角三角形全等的判定定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等
定理的作用：判定兩個直角三角形全等
【鞏固訓練】
1、△abc中，∠a∶∠b∶∠c=1∶2∶3，最小邊bc=4 cm，最長邊ab的長是（ ）
a.5 cm b.6 cm c. cm d.8 cm
2、△abc中，ab=ac，bd平分abc交ac邊於點d，∠bdc=75°，則∠a的度數為 （ ）
a. 35° b. 40° c. 70° d. 110°
3、△abc中，∠a∶∠b∶∠c=1∶2∶3，cd⊥ab於點d若bc=a，則ad等於（ ）
4、到△abc的三個頂點距離相等的點是△abc的（）
a.三邊中線的交點b.三條角平分線的交點
c.三邊上高的交點d.三邊中垂線的交點
5、如左下圖所示，在rt△abc中，∠c=90°，∠cab=60°，ad平分∠cab，點d到ab的距離de=3.8cm，則線段bc的長為（ ）
a、3.8cm b、7.6cm c、11.4cm d、11.2cm
6、如右上圖，在等邊中，分別是上的點，且，ad與be相交於點p，則的度數是（ ）
ab． cd．
7、如左下圖，表示三條相互交叉的公路，現在要建乙個加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的位址有（ ）.
a．1處 b．2處 c．3處 d．4處
8、如右上圖，已知中，，，是高和的交點，則線段的長度為（ ）
a． b．4 cd．5
9、（2012隨州）等腰三角形的周長為16，其一邊長為6，則另兩邊為
10、等腰直角三角形一條直角邊的長為1cm，那麼它斜邊長上的高是 cm.
11、在△abc中，ab=ac，∠a=50°，ab的垂直平分線de交ac於點d，垂足為e，則∠dbc的度數是 .
12、如圖是2023年8月在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，它是由4個相同的直角三角形拼和而成。若圖中大小正方形的面積分別為52cm2和4cm2，則直角三角形的兩條直角邊的和是
cm.13、如圖15，在中，ab=ac，，d是bc上任意一點，分別做de⊥ab於e，df⊥ac於f，如果bc=20cm，那麼de+df= _______cm.
14、如圖，△abc中，∠c=rt∠，ad平分∠bac交bc於點d，bd∶dc=2∶1，bc=7.8cm，則d到ab的距離為 cm.
15、在△abc中，ab＝ac，ab的垂直平分線交ab於n，交bc的延長線於m，∠a＝，求∠nmb的大小
（1）如果將∠a的度數改為，其餘條件不變，再求∠nmb的大小
（2）你發現有什麼樣的規律性？試證明之.
（3）將∠a改為鈍角，對這個問題規律性的認識是否需要加以修改
16、如圖，△abc中，ab= ac，p、q、r分別在ab、bc、ac上，
且bp=cq，bq=cr。求證：點q在pr的垂直平分線上。
17、（2012肇慶）如圖5，已知ac⊥bc，bd⊥ad，ac 與bd 交於o，ac=bd．
求證：（1）bc=ad；
（2）△oab是等腰三角形．
18、已知，如圖，⊿abc中，∠a = 90，ab =ac，d是bc邊上的中點，e、f分別是ab、ac上的點，且be = af，求證：ed⊥fd
19、如右圖，已知△abc和△bde都是等邊三角形，求證：ae=cd.
三角形證明
21.如圖，等腰梯形abcd中，ad bc,ad ab cd 2,c 600,m是bc的中點。1 求證 mdc是等邊三角形 2 將 mdc繞點m旋轉，當md 即md 與ab交於一點e,mc即mc 同時與ad交於一點f時，點e,f和點a構成 aef.試 aef的周長是否存在最小值。如果不存在，請說明理...
三角形證明
1.本小題10分 如圖，在 abc中，ab ac，a 80 e，f，p分別是ab，ac，bc邊上一點，且be bp，cp cf，則 epf a.40 b.50 c.80 d.45 2.本小題10分 如圖，在 abc中，m為bc中點，an平分 bac，an bn於n，且ab 10，ac 18，則mn等...
三角形的證明
1 如圖，abc中，abc與 acb的平分線交於點f，過點f作de bc交ab於點d，交ac於點e，那麼下列結論 bdf和 cef都是等腰三角形 de bd ce ade的周長等於ab與ac的和 bf cf 其中正確的有 a b c d 2 如圖，m是 abc的邊bc的中點，an平分 bac，bn ...