利川市長順中學徐高
幾何教學要重視學生思維能力的培養，引導學生如何運用幾何性質和判定思考問題，這些已經越來越引起廣大教師重視，但如何在教學中實現這一目標，卻成為教學評價的瓶頸，筆者在教學過程中盡量拓寬學生思路，努力做到用變化的觀點分析幾何問題。在北師大版八年級（下）164頁中第12題，我在教學時，突發思考，現奉上與同行共享。
一、題目展示
如圖，點c、d**段ab上，△pcd是等邊三角形，且△acp ∽ △pdb，求∠apb的大小。
二、題目賞析
（1）要求∠apb的大小，只要充分利用題設條件，通過兩個三角形相視，對應角相等，易得∠1=∠b、∠a=∠2，因為△pcd是等邊三角形，所以
∠acp=∠pdb ，所以∠a+∠1=60，即∠1+∠2=60，由∠pcd=∠1+∠2+
∠cpd得∠pcd=60+60=120 。
（2）從此結論還可以延伸出△acp ∽ △apb , △pdb ∽ △apb 。因為
∠apb=∠acp=120 , ∠a=∠a ,所以△acp ∽ △apb ，同理可得
△ pdb ∽ △apb 。
（3）從結論（2）還可以延伸出cd2=ac·bd ，ap2=ac·ab，bp2=bd·ab。
因為△acp ∽ △pdb ， ，△pcd是等邊三角形，有pc=pd=cd，所以cd2=ac·bd ；同理有ap2=ac·ab ，bp2=bd·ab 。
三、問題拓展
拓展1、
互換條件和結論，即此題變為△pcd是等邊三角形，∠apb=120,求證：△acp ∽ △pdb ∽ △apb 。
解析： 因為△pcd是等邊三角形，所以∠acp=∠pdb=120，則∠1+∠a=60，因為∠apb=120, ∠cpd=60,所以∠1+∠2=60，所以∠a=∠2，所以
△ acp ∽ △pdb 。
因為∠acp=∠apb=120 , ∠a是△acp和△apb的公共角，所以
△ acp ∽ △apb ，同理可得△pdb ∽ △apb。
拓展2、
本題改變條件，把前面（3）中的結論作為條件也可以得到這三個三角形相似以及求出∠apb的度數。即如圖，△acd是等邊三角形，若滿足①cd2=ac·bd，②ap2=ac·ab ，③bp2=bd·ab 三個條件中的其中乙個，則都有
（1） △acp ∽ △pdb ∽ △apb ；
（2） ∠apb=120
解析：由條件①可變形為,因為△pcd是等邊三角形，所以此比例式進一步變形為,又由於∠acp=∠pbd ，所以△acp ∽ △pdb 。其餘兩個條件也可以通過兩邊對於成比例，夾角相等來判斷另外兩組三角形相似，進一步也就可以得出∠apb=120
拓展3、
弱化條件，在本題中，若把△pcd是等邊三角形弱化為一般等腰三角形，
pc=pd≠cd ，探索當∠apb與∠pcd滿足什麼數量關係時△acp ∽ △pcd ；此時拓展2中①、②、③三個等式是否還成立？
解析：因為△pcd是等腰三角形，所以有∠acp=∠pdb ，要使得△acp ∽ △pdb ，則還要有∠a=∠2 或者∠1=∠b ，由∠pcd=∠1+∠a得∠pcd=∠a=∠b ，因為∠apb+∠a+∠b=180 ,所以
∠pcd+∠apb=180 ,所以當∠pcd 與∠apb互補時，△acp ∽ △pdb 。
當△acp ∽ △pdb 時△acp 與 △apb 也相似、△pdb與 △apb 也相似，所以等式②③也一定成立，但由於pc=pd≠cd等式①不成立，但是
pc2 =ac·bd成立。
四、評價
首先，本題是一道考查幾何基礎知識的好題，它充分考查了相似三角形性質和判定兩個方面的知識，對相似三角形相關知識的掌握起到了很好的鞏固作用。在判定兩個三角形是否相似的題目裡抓住題目所給的條件進行分析，特別是在有線段積相等時，往往把等積式化成比例式，再看兩個比例前項的兩條線斷和比例後項的兩天線段是否在兩個三角形中，例如前面論述裡面ap2=ac·ab，化成比例式為，兩比例前項ap與ab在△apb中，兩比例後項ac與ap在△acp 中，由∠pab與∠cap分別是這兩個三角形兩成比例對應邊的夾角，因此就可以判定這兩個三角形相似。
其次幾何知識的學習還要重視發散思維的訓練，真正做到把基礎知識運用到解決幾何問題中去。發散思維的訓練是提高學生思維能力的乙個重要方法，用變化的思想方法分析問題本身就是思維能力的一般要求。如這個例子就把等邊三角形這個條件弱化為一般等腰三角形，達到對問題發散思維的目的。
總之，幾何知識的學習是在掌握基礎知識的前提下，會用一般的幾何思維方法解決幾何問題，課本習題不僅僅只是提供乙個題目而已，它更要求老師和學生善於從習題的問題和解答中尋求變化，從而掌握數學學習方法，提公升數學思維能力。
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