定義：頂點在圓上，並且兩邊都和圓相交的角，叫做圓周角。如圖1所示，∠acb就是圓周角。
試探索圓的直徑所對的圓周角的度數。
（1）如圖2所示，在⊙o中，直徑 ab所對的圓周角的度數是________；
（2）寫出已知、求證及證明過程。
學生知識結構分析：
這是一道與圓有關的幾何題，學生對圓的知識的掌握主要是在兩個階段，一是在預初年級中有關圓的定義，圓的面積、圓的周長以及圓的弧長的計算；二是在初一年級中的旋轉與圓章節中的圓的性質，如的半徑相等，還有垂徑定理。關於三角形的概念有三角形的內角和等於1800，三角形的外角性質等。與直角（或900角）有關的知識有垂直定義，垂徑定理等。
試題分析：
本題希望學生通過閱讀，理解圓周角的概念，培養閱讀理解能力；第二是讓學生通過觀察直觀的圖形進行適當的猜想，培養學生的觀察，分析與猜想的能力；第三是把文字命題通過寫已知、求證的途徑轉為數學語言，發展學生的數學語言表達能力；最後通過分析，對命題進行論證，發展學生幾何推理能力，規範幾何論證的過程。學生在論證過程中，可能會有不同的思路與想法，正好說明學生知識結構可能會有所不同，也是教學中要進行因人施教的依據之一吧。
教師教學情況分析：
在初二幾何證明中的證明舉例一節中，圓的知識以例題和練習的形式都出現過，我在講解這一問題中經常講到或複習到的知識有：同圓半徑相等，同圓中相等的弦所對的弦心距相等或同圓中相等的弦心距所對的弦相等，為了找到所謂的竅門，還經常對學生說「碰到圓中的弦，就要想到做弦心距」。也許是受此影響，我們的學生的思維往往就有些侷限性了。
學生答題情況分析：
學生對第1問中角度的猜想基本上沒有什麼大的問題，但對第2問中的回答情況並不好，首先是寫已知的時候不清楚寫哪些已知條件，更遺憾的是能完整證明出來的人數也不多。但是通過對不同學生的正確證明過程的分析，我還是覺得有可喜的一面，那就是學生的思路還是比較開闊的，發散性思維在解題過程中有所體現並得到發展。解題思路的沒有因為侷限在某個知識點上而錯過證明，以下就列舉其中的五種證法供進行分析。
證法一：
如圖3，鏈結oc
∵oc=ob
∴∠2=∠b
∵oa=oc
∴∠1=∠3
又∵∠b+∠1+∠2+∠3=1800
∴2∠1+2∠2=1800
∴∠1+∠2=900
即∠acb=900.
評注：這種方法也是命題老師給出的方法，這種方法可能是最簡單的，思路也是最清晰的，它對以後學習中遇到的命題「三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形」的理解有很大的幫助。
證法二：
如圖3，鏈結oc
∵oc=ob
∴∠2=∠b
∵oa=oc
∴∠1=∠3
∵∠aoc=∠2+∠b，∠c0b=∠1+∠3，且∠aoc+∠cob=1800
∴∠b+∠1+∠2+∠3=1800
∴2∠1+2∠2=1800
∴∠1+∠2=900
即∠acb=900.
評注：此種方法的學生對三角形的外角的性質掌握比較好，充分運用了平角的定義，從不同角度運用到1800，與證法一有異曲同工之實。
證法三：
如圖4，延長co交⊙o於點d，鏈結ad
∵co=do，ao=bo，∠cob=∠aod
∴△cob≌△doa
∴∠b=∠4
∴ad∥bc
∵ob=oc
∴∠b=∠2
∴∠2=∠4
∵oa=oc
∴∠1=∠3
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800
∴2∠1+2∠2=1800
∴∠1+∠2=900
即∠acb=900.
評注：這種方法體現出學生對三角形全等的應用比較熟練，又巧妙應用到了「兩直線平行，同旁內角互補」這一性質。
前三種證法從三個不同的角度去運用與1800角有關的性質，說明有些數學問題的解決方法是多樣的，更說明學生對不同的知識掌握深度是不完全一樣的。對不同數學知識的應用熟練程度也有區別。
證法四：
如圖5，作od⊥bc於d，
∵ob=oc
∴∠cod=∠bod
∵oa=oc
∴∠1=∠3
∵∠cob=∠1+∠3
∴∠1=∠cod
∴ac∥od
∴∠acb=900.
評注：巧妙應用了「等腰三角形三線合一」，「三角形的乙個外角等於與它不相鄰的兩個內角和」等性質。
證法五：
如圖6，作od∥ac，oe∥bc
∴四邊形oecd是平行四邊形，
∴oe=cd
∵od∥ac，oe∥bc
∴∠a=∠dob，∠b=∠aoe
在△aoe和△obd中
∴△aoe≌△obd（sas）
∴oe=bd
∴cd=bd
∴od⊥bc（平分弦的直徑垂直於弦）
∴∠acb=900.
反思：學生之間是具有個體差異的，「二期課改」的理念是「以學生的發展為本」 ，因而我們數學教學要以「一切為了學生的發展」為出發點，著眼於提高學生的分析問題與解決問題的能力，作為教師要鼓勵和引導學生從不同的角度觀察、分析問題，不能把自己的意願強加給學生，不能把解題的思路形式格式化，標準化特別是單一化，從而影響學生思維的橫向與縱向的發展。創新思維的培養與發展需要與學生發散性思維的培養與發展同步進行，我們要相信學生的潛力是無限的，解題的思路與方法是多樣的，因此在平時的數學教學中要善於發現學生的優點，及時表揚與鼓勵。
作為數學教師我們要在備課時就去從不同角度去分析所給的例題或練習題，盡量把各種可能的情況都要想到。這樣才能在教學中有的放矢，真正做到讓每個學生都得到發展。
對於學生而言，也許並不能都可以想到這五種方法，但是自己所用的方法和思路卻能體現出在平時的學習中所掌握知識的側重點所在。做為學生，在平時學習中一定要打好基礎，熟悉相關數學概念、法則、性質、定理，準確梳理各知識點之間的聯絡。在解題訓練中要認真分析，思考結論與已知條件之間的直接或間接聯絡，從不同角度去思考已知題目條件可以得到的結論是什麼，具備什麼樣的條件可以使得結論成立。
更可以在教師的引導下對題目進行變式，把題目的條件或結論進行適當的變化，去思考可能出現的情況，分析、歸納其中蘊涵的規律與特點，把自己的思維從不同角度發散出去，久而久之，自身思維的廣度與深度一定會有乙個質的飛躍，才能讓自己徹底告別題海的束縛，才能在以後的解題中得心應手，促進自身創新思維的發展，達到事半功倍的效果。
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