題目：已知數列滿足
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，證明：是等差數列；
（3）證明：
這是一道數列，不等式的綜合題目，在平時的測試卷中常常以壓軸題的身份出現。其中最後一問是關於數列不等式的證明問題，問題精巧，卻有很多種數學方法。有學生最常用的構造裂項條件或構造等比數列進行放縮的方法，還有學生用的不多的整體求和法，用數學歸納法證明加強命題的方法。
解析：（1）（2）略
下面主要研究（3）中的不等式證明：.
方法一：構造裂項條件進行放縮。
當時，，
所以從第2項開始裂項，
.反思：嘗試把原不等式進行一般化。當時，
所以可得不等式. 顯然，當時，就是原不等式。
方法二：構造等比數列進行放縮。
思路1：先嘗試構造，所以有
，放縮過頭，稍作調整。
再猜想，故
，可見那個合適的就是.
證明：對有，當且僅當等號成立。所以有
，得證。
反思：為了形式上的簡潔，也可將寫成，有
，本質上和上面的證明是一樣的。
思路2：由情不自禁想到平方差公式.
由，所以
。這和要證明的不等式方向相反，稍作調整，
證明： 。
所以當，，
.反思：由上還可以得到新的不等式。
方法三：考慮用整體求和法。
證明：。
設，則 ，
，.方法四：考慮用數學歸納法，但直接用顯然不行，考慮加強命題，構造加強不等式。
假設加強命題為，
應同時滿足： 和 。
由知，觀察的結構，不等式的右邊是指數式，所以考慮為指數式，且遞減，取滿足式的即可，比如，故用數學歸納法可順利證得加強命題。所以，原不等式得證。
反思：其實可以設，要使同時滿足和，此時，不防取，，然後用數學歸納法證明
成立，從而原不等式得證。
文末我們來看幾個與原不等式有關的優美變式：
（1）由可得：.
（2）由可得：.
（3）將原不等式分母中換為得：.
在平時的教學中，我們會遇到很多有意思的題目，有些題目有很多種方法，有些題目做法很獨特，有些題目是學生容易出錯的，我們應該把它們都收集起來，等到需要的時候就不會產生書到用時方恨少的困惑。尤其是一些一題多解的例子，在平時多引導學生用多種方法做題，這有利於拓寬學生的思維，也可以讓不同層次的學生選擇自己喜歡的方法，同時也是老師增強自己專業素養，豐富教學手段的好機會。
參考文獻
武曾明.加強命題證明數列不等式問題的**.中學生數學.2009,8.
此文是本人原創，請勿用於非教學的私利，謝謝。
從一道賽題談不等式證明的數學思想
廣東省興寧市職業技術學校 514500 何斌 本文發表在中學數學研究 廣東 2011年第1期 1992年第26屆獨立國協數學奧林匹克競賽題中有一道不等式證明題 題目 設，求證 我們通過對這道題的證明,談談在不等式的證明中常用到的一些數學思想方法.一 構造向量法 向量是高中數學的重要內容之一，在不等式...
對一道題的反思
如圖所示，在乙個圓形區域內，兩個方向相反且都垂直於紙面的勻強磁場分布在以直徑a2a4為邊界的兩個半圓形區域 中，a2a4與a1a3的夾角為60 一質量為m 帶電量為 q的粒子以某一速度從 區的邊緣點a1處沿與a1a3成30 角的方向射入磁場，隨後該粒子以垂直於a2a4的方向經過圓心o進入 區，最後再...
一道三角不等式的多元變式推廣
隆建軍 四川省攀枝花市大河中學，四川攀枝花617061 摘要 本文利用cauchy不等式和推廣的均值不等式對乙個三角不等式進行了深入的 得到了一系列的不等式 關鍵詞 三角不等式 多元變式推廣 cauchy不等式 推廣的均值不等式 數學通訊 學生刊 2013年第1 2期問題123給出了如下三角不等式 ...