北京五十五中韓亦軍
教學目標
通過教學，學生掌握和應用分析法證明不等式．
教學重點和難點
理解分析法的證題格式並能熟練應用．
教學過程設計
師：我們已經學習了綜合法證明不等式．綜合法是從已知條件入手去探明解題途徑，概括地說，就是「從已知，看已知，逐步推向未知」．
綜合法的思路如下：（從上往下看）
（用投影片）
師：其中，a表示已知條件，由a可以得到它的許多性質，如b，b1，b2，而由b又可以得到c，由b1還可以得到c1，c2，由b2又可以得到c3，…，而到達結d的只有c，於是我們便找到了a→b→c→d這條通路．當然，有時也可以有其他的途徑達到d，比如a→b1→c1→d等．
但是有許多不等式的證明題，已知條件很隱蔽，使用綜合法證明有一定困難．
這一命題若用綜合法證明就不知應從何處下手，今天我們介紹用分析法證明不等式，來解決這個問題．
（複習了舊知識，並指出單一用綜合法證明的不足之處，說明了學習分析法的必要性）
分析法是從結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到和已知條件溝通為止，從而找出解題途徑．概括地說，就是「從未知，看需知，逐步靠攏已知」．
分析法的思路如下：（從下往上看）
（用投影片）
師：欲使結論d成立，可能有c，c1，c2三條途徑，而欲使c成立，又有b這條途徑，欲使c1成立，又有b1這條途徑，欲使c2成立，又有b2，b3兩條途徑，在b，b1，b2，b3中，只有b可以從a得到，於是便找到了a→b→c→d這條解題途徑．
（對比綜合法敘述分析法及其思路，便於學生深刻理解分析法的實質及其與綜合法的關係）
師：用分析**證「若a到b」這個命題的模式是：
（用投影片）
欲證命題b為真，
只需證命題b1為真，
只需證命題b2為真，
……只需證命題a為真，
今已知a真，
故b必真．
師：在運用分析法時，需積累一些解題經驗，總結一些常規思路，這樣可以克服無目的的亂碰，從而加強針對性，較快地探明解題途徑．
下面舉例說明如何用分析法證明不等式．首先解決剛才提出的問題．（板書）
（此題以教師講解，板書為主，主要講清證題格式）
師：請看投影，這個題還有一種證法．
（投影片）
師：這種證法是綜合法．可以看出，綜合法有時正好是分析過程的逆推．證法2雖然用綜合法表述，但若不先用分析法思索，顯然用綜合法時無從入手，有時綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎上，分析法的優越性正體現在此．
師：若此題改為
下面的證法是否有錯？
（投影片）
① ②③ ④⑤ ⑥⑦因為63＜64成立，
⑧ ⑨（學生自由討論後，請一位同學回答）
生：我認為第②步到⑦步有錯，不等式①兩邊都是負的，不能平方．
師：這位同學找到了證明過程中的錯誤，但錯誤原因敘述得不夠準確．這種證法錯在違背了不等式的性質．
若a＞b＞0，則a2＞b2；若0＜a＜b，則a2＞b2．
（不失時機地聯絡舊知識，在以新代舊的過程中，數學知識可以不斷得到深化，學生的思維能力可以得到提高）
師：下面看第二個例題．（板書）
（學生推證，教師巡視，請一學生口答）
因為c＞1，
即證-1＜0，
因為-1＜0顯然成立，
師：以上兩個例題充分顯示了分析法的優越性．
師：這個題目我們曾經用比較法進行過證明，請同學們考慮用分析法如何證明？
（學生討論，請一學生回答）
生：因為b＞0，所以b＋1＞0，去分母，化為a（b＋1）＜b（a＋1），就是a＜b，這個式子就是已知條件，所以求證的不等式成立．
（學生理解了分析法的原理，應予以肯定，但這個回答不能作為證明過程，學生往往忽略分析法證明的格式，要及時糾正）
師：這位同學「執果索因」，逐步逆找結論成立的充分條件，直至找到明顯成立的不等式為止．很明顯，逆找的過程正是把「欲證」由繁化簡的過程，因而分析法對於形式複雜的證明題是一種行之有效的方法．
但是作為證明過程，這位同學的回答不符合要求．應該如何證明呢？
（請一位同學板書）
因為b＞0，b＋1＞0，
故只需證a（b＋1）＜b（a＋1），
即證ab＋a＜ab＋b，
即證a＜b，
師：如果將這個題變化為
其證明方法與例3相同．此題表明：分子、分母都是正的真分數，分子、分母同加上正數m，分數值變大——但不超過1，這是分數的
何？（講完乙個例題後，將例題引伸是教學中常做的一件事，它可以使學生的認識得到「昇華」，發展學生的思維，並起到觸類旁通，舉一反三的效果）
例4 已知：a，b∈r＋，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b＋ab2．
生甲：我用求差比較法可以證明．
（學生口答，教師板書簡單過程）
證法1：（a3＋b3）-（a2b＋ab2）
=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b）
=（a＋b）（a2-2ab＋b2）
=（a＋b）（a-b）2．
由a，b∈r＋，知a＋b＞0，又a≠b，則（a-b）2＞0，進而（a＋b）（a-b）2＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，所以a3＋b3＞a2b-ab2．
生乙：我是用分析法證明的．
證法2：
欲證a3＋b3＞a2b＋ab2，
即證（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），
因為a＋b＞0，
故只需證a2-ab＋b2＞ab，
即證a2-2ab＋b2＞0，
即證（a-b）2＞0，
因為a≠b，
所以（a-b）2＞0成立，
所以a3＋b3＞a2b＋ab2成立．
生丙：那我可以用綜合法證明．
證法3：
由a≠b，知（a-b）2＞0，即a2-2ab＋b2＞0，則a2-ab＋b2＞ab，又a＋b＞0，則（a＋b）·（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），即a3＋b3＞a2b＋ab2．
師：以上三位同學熟練地應用學過的證明方法，對同一命題用三種方法進行了證明，開闊了思路．同學們應學會針對具體題目，靈活地選取方法．
（分析法和綜合法是對立統一的兩個方法，對同一命題分別用這兩種方法證明，便於對比，在教學中，應著眼於培養學生的能力，使學生能針對具體問題，進行具體分析，靈活地運用各種證法）
例5 若a，b，c是不全相等的正數，
（師生共同進行分析）
證明：且上述三式中的等號不全成立，所以
師：這個證明中的前半部分用的是分析法，後半部分用的是綜合法，
意箭頭的方向．
課堂練習：（投影片）
3．若a，b∈r＋，求證：a5＋b5＞a3b2＋a2b3．
（第3題是例4的推廣．所謂推廣，就是把真命題放在更廣的範圍內考查，因而是一種創造性的思維活動．要想做出推廣，認清式子的「結構特徵」是突破口．就例4中的a3＋b3＞a2b＋ab2而言，不等號兩邊都是二元的三次齊次式，推廣至少有兩個方向：（i）次數能否提高？（ii）「元」能否增多？
對學有餘力的同學不妨試試看）
（請同學做以上三個練習，鞏固本節課所學內容．教師巡視，發現問題，當堂指正）
小結：師：這節課主要學習了用分析法證明不等式．分析法是證明不等式時一種常用的基本方法，在證題不知從何下手時，有時可以運用分析法而獲得解決．在「執果索因」逆推過程中，請同學們小結常用技巧．
生：可以通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母、兩邊乘方、開方．
師：使用這些技巧變形時，注意遵循不等式性質，還有什麼補充？
生：還有指數，對數性質．
師：（再補充）以及三角公式等等，運用同學們總結出的這些技巧，目的是將「求證」由繁化簡，直至逆推出已知或顯然成立的結論．另外，分析法和綜合法是對立統一的兩個方面．有時我們可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明過程，或者分析法，綜合法相結合，共同完成證明過程．
作業：根據三角函式的有界性，sin2α≤1成立，所以原不等式成立）
課堂教學設計說明
教學過程是不斷發現問題、解決問題的思維過程．因此，教師應及時提出問題或引導學生發現問題，然後開拓學生思路，啟迪學生智慧型，求得問題的解決．乙個問題解決後，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質，把學生的思維步步引向深入，直至完成本節課的教學任務．總之，本節課的教學安排是讓學生的思維由問題開始，到問題深化，始終處於積極主動狀態．
分析法證明不等式
教學目標 1 掌握分析法證明不等式 2 理解分析法實質 執果索因 3 提高證明不等式證法靈活性.教學重點 分析法教學難點 分析法實質的理解 教學過程 一 分析法 證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這...
不等式 用比較法證明不等式
教學目標 1 理解，掌握比較法證明不等式 2 培養滲透轉化 分類討論等數學思想，提高分析 解決問題能力 3 鍛鍊學生的思維品質 思維的嚴謹性 靈活性 深刻性 教學重點與難點 求差比較法證明不等式是本節課的教學重點 求差後，如何對 差式 進行適當變形，並判斷符號是本節課教學難點 教學過程設計 一 不等...
用構造區域性不等式法證明不等式
有些不等式的證明，若從整體上考慮難以下手，可構造若干個結構完全相同的區域性不等式，逐一證明後，再利用同向不等式相加的性質，即可得證。例1.若，求證 分析 由a，b在已知條件中的對稱性可知，只有當，即時，等號才能成立，所以可構造區域性不等式。證明 同理，例2.設是n個正數，求證 證明 題中這些正數的對...