1、運用放大、縮小分母或分子的辦法來達到放縮的目的
分式的放縮對於分子分母均取正值的分式，如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可．還可利用真分數的分子和分母加上同乙個正數，則分數值變大；假分數的分子和分母加上同乙個正數，則分數值變小來進行放縮．
例1、若a，b，c，d是正數．求證：
證明： 又或
（利用）
∴例2、求證：
證明：∵
∴【變式】∵∴
本題說明：此題採用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據具體題型分別對待，即放不能太寬、縮不能太窄，真正做到恰到好處。
例3、求證：
證明：∵∴∴
練習：求證
證明：∵
∴說明：觀察數列的構成規律，採用通項放縮的技巧把一般數列轉化成特殊數列，從而達到簡化證題的目的。
本題說明：此題採用了通項放縮，使放縮後能拆項相消的技巧。
2、新增或捨棄一些正項（或負項）
例4、已知求證：
證明：若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由於證明不等式的需要，有時需要捨去或新增一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。本題在放縮時就捨去了，從而是使和式得到化簡.
例5、證明：
證明：∴【練習】求證：
證明：∵
∴3、利用基本不等式放縮
例6、若，求證：
證明：∵
∴例7、求證：
證明：練習：當時，求證：
證明：∵， ∴，且，
∴，∴時, .
練習：已知，證明：不等式對任何正整數都成立.
證明：要證，只要證.
因為，，
故只要證，
即只要證.
因為，所以命題得證.
本題通過化簡整理之後，再利用基本不等式由放大即可.
3、逐項放大或縮小
例8、設，求證：
證明：∵，
∴， ∴
本題利用，對中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數列，達到化簡的目的
4、放大或縮小「因式」
例9、已知數列滿足求證：
證明本題通過對因式放大，而得到乙個容易求和的式子，最終得出證明.
二、放縮法證明「數列+不等式」問題的兩條途徑
用放縮法解決「數列+不等式」問題通常有兩條途徑：一是先放縮再求和，二是先求和再放縮。
1、 先放縮再求和
例1 （05年湖北理）已知不等式其中為不大於2的整數，表示不超過的最大整數。設數列的各項為正且滿足
，證明：，
分析：由條件得
……，以上各式兩邊分別相加得：
=本題由題設條件直接進行放縮，然後求和，命題即得以證明。
練習：函式f（x）=，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.
證明：由f(n)= =1-
得f（1）+f（2）+…+f（n）>
.此題不等式左邊不易求和,此時根據不等式右邊特徵, 先將分子變為常數，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和. 若分子, 分母如果同時存在變數時, 要設法使其中之一變為常量，分式的放縮對於分子分母均取正值的分式。
如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。
例2（04全國三）已知數列的前項和滿足：，
（1）寫出數列的前三項，，；
（2）求數列的通項公式；
（3）證明：對任意的整數，有
分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；
⑵由已知得：（n>1）
化簡得：，,
故數列{}是以為首項, 公比為的等比數列.
故 ， ∴
∴數列{}的通項公式為：.
⑶觀察要證的不等式，左邊很複雜，先要設法對左邊的項進行適當的放縮，使之能夠求和。而左邊=，如果我們把上式中的分母中的去掉，就可利用等比數列的前n項公式求和，由於-1與1交錯出現，容易想到將式中兩項兩項地合併起來一起進行放縮，嘗試知：，
，因此，可將保留，再將後面的項兩兩組合後放縮，即可求和。這裡需要對進行分類討論，（1）當為偶數時，
（2）當是奇數時，為偶數，
所以對任意整數，有。本題的關鍵是並項後進行適當的放縮。
2、 先求和再放縮
例3（武漢市模擬）定義數列如下：
證明：（1）對於恒有成立。
（2）當，有成立。
（3）。
分析：（1）用數學歸納法易證。
（2）由得：
， … ，
以上各式兩邊分別相乘得：
，又，（3）要證不等式，
可先設法求和：，再進行適當的放縮。
，，又，，原不等式得證。
本題的關鍵是根據題設條件裂項求和。
以上介紹了用「放縮法」證明不等式的幾種常用策略，解題的關鍵在於根據問題的特徵選擇恰當的方法，有時還需要幾種方法融為一體。在證明過程中，適當地進行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果。但放縮的範圍較難把握，常常出現放縮後得不出結論或得到相反的現象。
因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標尤為重要。要想正確確定放縮目標，就必須根據欲證結論，抓住題目的特點。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，並且還要根據不同題目的型別，採用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。
希望大家能夠進一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調整手段.
放縮法證明不等式
1 新增或捨棄一些正項 或負項 例1 已知 求證 解析 1 2 3 點評 若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小 由於證明不等式的需要，有時需要捨去或新增一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的 本題在放縮時就捨去了，從而是使和式得...
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放縮法在不等式的應用 所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標進行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意放和縮的 度 否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的乙個重要步驟。證明數列型不等式，因其思維跨度大 構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思...
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