1. 設有三維向量 , , , 問k取何值時
i. β可由α1, α2, α3線性表示, 且表示式唯一;
ii. β可由α1, α2, α3線性表示, 但表示式不唯一;
iii. β不能由α1, α2, α3線性表示.
解. i. 時, α1, α2, α3線性無關, 四個三維向量一定線性相關, 所以β可由α1, α2, α3線性表示, 由克萊姆法則知表示式唯一;
ii. 當k = 1 時
. 係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩為2. 所以所以β可由α1, α2, α3線性表示, 但表示不惟一;
iii. 當時
.係數矩陣的秩等於2, 增廣矩陣的秩為3, 所以所以β不能由α1, α2, α3線性表示.
2. 設向量組α1, α2, α3線性相關, 向量組α2, α3, α4線性無關, 問
i. α1能否由α2, α3線性表出? 證明你的結論;
ii. α4能否由α1, α2, α3線性表出? 證明你的結論
解. i. α1不一定能由α2, α3線性表出. 反例: , , . 向量組α1, α2, α3線性相關, 但α1不能由α2, α3線性表出;
ii. α4不一定能由α1, α2, α3線性表出. 反例1, α2, α3線性相關, α2, α3, α4線性無關, α4不能由α1, α2, α3線性表出.
3. 已知m個向量α1, α2, …αm線性相關, 但其中任意m－1個都線性無關, 證明:
i. 如果存在等式
k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0
則這些係數k1, k2, …km或者全為零, 或者全不為零;
ii. 如果存在兩個等式
k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0
l1α1 + l2α2 + … + lmαm = 0
其中l1 ≠ 0, 則 .
解. i. 假設k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0, 如果某個ki = 0. 則
k1α1 +…+ ki－1αi－1 + ki+1αi+1 … + kmαm = 0
因為任意m－1個都線性無關, 所以k1, k2, …ki－1, ki+1, …, km都等於0, 即這些係數k1, k2, …km或者全為零, 或者全不為零;
ii. 因為l1 ≠ 0, 所以l1, l2, …lm全不為零. 所以 .
代入第一式得:
即 所以 , …,
即 4. 設向量組α1, α2, α3線性無關, 問常數a, b, c滿足什麼條件aα1－α2, bα2－α3, cα3－α1線性相關.
解. 假設
得 因為 α1, α2, α3線性無關, 得方程組
當行列式時, 有非零解. 所以時, aα1－α2, bα2－α3, cα3－α1線性相關.
5. 設a是n階矩陣, 若存在正整數k, 使線性方程組akx = 0有解向量α, 且ak－1α ≠ 0, 證明: 向量組α, aα, , ak－1α是線性無關的.
解. 假設 . 二邊乘以得
, 由 . 二邊乘以得
, 最後可得 ,
所以向量組α, aα, , ak－1α是線性無關.
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