近年來在高考解答題中,常滲透不等式證明的內容,而不等式的證明是高中數學中的乙個難點,它可以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是,高考中可以用「放縮法」證明不等式的頻率很高,它是思考不等關係的樸素思想和基本出發點, 有極大的遷移性, 對它的運用往往能體現出創造性。「放縮法」它可以和很多知識內容結合,對應變能力有較高的要求。
因為放縮必須有目標,而且要恰到好處,目標往往要從證明的結論考察,放縮時要注意適度,否則就不能同向傳遞。下面結合一些高考試題,例談「放縮」的基本策略,期望對讀者能有所幫助。
1、新增或捨棄一些正項(或負項)
例1、已知求證:
證明:若多項式中加上一些正的值,多項式的值變大,多項式中加上一些負的值,多項式的值變小。由於證明不等式的需要,有時需要捨去或新增一些項,使不等式一邊放大或縮小,利用不等式的傳遞性,達到證明的目的。本題在放縮時就捨去了,從而是使和式得到化簡.
2、先放縮再求和(或先求和再放縮)
例2、函式f(x)=,求證:f(1)+f(2)+…+f(n)>n+.
證明:由f(n)= =1-
得f(1)+f(2)+…+f(n)>
.此題不等式左邊不易求和,此時根據不等式右邊特徵, 先將分子變為常數,再對分母進行放縮,從而對左邊可以進行求和. 若分子, 分母如果同時存在變數時, 要設法使其中之一變為常量,分式的放縮對於分子分母均取正值的分式。
如需放大,則只要把分子放大或分母縮小即可;如需縮小,則只要把分子縮小或分母放大即可。
3、先放縮,後裂項(或先裂項再放縮)
例3、已知an=n ,求證: <3.
證明: =<1+
<1+=
=1+ (-)
=1+1+--<2+<3.
本題先採用減小分母的兩次放縮,再裂項,最後又放縮,有的放矢,直達目標.
4、放大或縮小「因式」;
例4、已知數列滿足求證:
證明 本題通過對因式放大,而得到乙個容易求和的式子,最終得出證明.
5、逐項放大或縮小
例5、設求證:
證明:∵
∴, ∴
本題利用,對中每項都進行了放縮,從而得到可以求和的數列,達到化簡的目的。
6、固定一部分項,放縮另外的項;
例6、求證:
證明:此題採用了從第三項開始拆項放縮的技巧,放縮拆項時,不一定從第一項開始,須根據具體題型分別對待,即不能放的太寬,也不能縮的太窄,真正做到恰倒好處。
7、利用基本不等式放縮
例7、已知,證明:不等式對任何正整數都成立.
證明:要證,只要證.
因為,,
故只要證,
即只要證.
因為,所以命題得證.
本題通過化簡整理之後,再利用基本不等式由放大即可.
8、先適當組合, 排序, 再逐項比較或放縮
例8、.已知i,m、n是正整數,且1<i≤m<n.
(1)證明:nia<mia;(2)證明:(1+m)n>(1+n)m
證明:(1)對於1<i≤m,且a =m·…·(m-i+1),
,由於m<n,對於整數k=1,2,…,i-1,有,
所以(2)由二項式定理有:
(1+m)n=1+cm+cm2+…+cmn,
(1+n)m=1+cn+cn2+…+cnm,
由(1)知mia>nia (1<i≤m<n,而c=
∴micin>nicim(1<m<n
∴m0c=n0c=1,mc=nc=m·n,m2c>n2c,…,
mmc>nmc,mm+1c>0,…,mnc>0,
∴1+cm+cm2+…+cmn>1+cn+c2mn2+…+cnm,
即(1+m)n>(1+n)m成立.
以上介紹了用「放縮法」證明不等式的幾種常用策略,解題的關鍵在於根據問題的特徵選擇恰當的方法,有時還需要幾種方法融為一體。在證明過程中,適當地進行放縮,可以化繁為簡、化難為易,達到事半功倍的效果。但放縮的範圍較難把握,常常出現放縮後得不出結論或得到相反的現象。
因此,使用放縮法時,如何確定放縮目標尤為重要。要想正確確定放縮目標,就必須根據欲證結論,抓住題目的特點。掌握放縮技巧,真正做到弄懂弄通,並且還要根據不同題目的型別,採用恰到好處的放縮方法,才能把題解活,從而培養和提高自己的思維和邏輯推理能力,分析問題和解決問題的能力。
希望大家能夠進一步的了解放縮法的作用,掌握基本的放縮方法和放縮調整手段.
例談「放縮法」證明不等式的基本策略
1 新增或捨棄一些正項 或負項 例1 已知求證 證明 若多項式中加上一些正的值,多項式的值變大,多項式中加上一些負的值,多項式的值變小。由於證明不等式的需要,有時需要捨去或新增一些項,使不等式一邊放大或縮小,利用不等式的傳遞性,達到證明的目的。本題在放縮時就捨去了,從而是使和式得到化簡.2 先放縮再...
放縮法證明不等式
1 新增或捨棄一些正項 或負項 例1 已知 求證 解析 1 2 3 點評 若多項式中加上一些正的值,多項式的值變大,多項式中加上一些負的值,多項式的值變小 由於證明不等式的需要,有時需要捨去或新增一些項,使不等式一邊放大或縮小,利用不等式的傳遞性,達到證明的目的 本題在放縮時就捨去了,從而是使和式得...
放縮法證明不等式
1 運用放大 縮小分母或分子的辦法來達到放縮的目的 分式的放縮對於分子分母均取正值的分式,如需放大,則只要把分子放大或分母縮小即可 如需縮小,則只要把分子縮小或分母放大即可 還可利用真分數的分子和分母加上同乙個正數,則分數值變大 假分數的分子和分母加上同乙個正數,則分數值變小來進行放縮 例1 若a,...