1、新增或捨棄一些正項（或負項）
例1、已知求證：
證明：若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由於證明不等式的需要，有時需要捨去或新增一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。本題在放縮時就捨去了，從而是使和式得到化簡.
2、先放縮再求和（或先求和再放縮）
例2、函式f（x）=，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.
證明：由f(n)= =1-
得f（1）+f（2）+…+f（n）>
.此題不等式左邊不易求和,此時根據不等式右邊特徵, 先將分子變為常數，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和. 若分子, 分母如果同時存在變數時, 要設法使其中之一變為常量，分式的放縮對於分子分母均取正值的分式。
如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。
3、先放縮，後裂項（或先裂項再放縮）
例3、已知an=n ，求證： ＜3．
證明： =＜1＋
＜１＋=
=1＋(－)
=1＋1＋－－＜2＋＜3．
本題先採用減小分母的兩次放縮，再裂項，最後又放縮，有的放矢，直達目標.
4、放大或縮小「因式」；
例4、已知數列滿足求證：
證明本題通過對因式放大，而得到乙個容易求和的式子，最終得出證明.
5、逐項放大或縮小
例5、設求證：
證明：∵
∴， ∴
本題利用，對中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數列，達到化簡的目的。
6、固定一部分項，放縮另外的項；
例6、求證：
證明：此題採用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。
7、利用基本不等式放縮
例7、已知，證明：不等式對任何正整數都成立.
證明：要證，只要證.
因為，，
故只要證，
即只要證.
因為，所以命題得證.
本題通過化簡整理之後，再利用基本不等式由放大即可.
8、先適當組合, 排序, 再逐項比較或放縮
例8、.已知i，m、n是正整數，且1＜i≤m＜n.
(1)證明：nia＜mia；(2)證明：(1+m)n＞(1+n)m
證明：(1)對於1＜i≤m，且a =m·…·(m－i+1)，
，由於m＜n，對於整數k=1，2，…，i－1，有，
所以(2)由二項式定理有：
(1+m)n=1+cm+cm2+…+cmn，
(1+n)m=1+cn+cn2+…+cnm，
由(1)知mia＞nia (1＜i≤m＜n，而c=
∴micin＞nicim(1＜m＜n
∴m0c=n0c=1，mc=nc=m·n，m2c＞n2c，…，
mmc＞nmc，mm+1c＞0，…，mnc＞0，
∴1+cm+cm2+…+cmn＞1+cn+c2mn2+…+cnm，
即(1+m)n＞(1+n)m成立.
求證證明求證
證明**用放縮法證明不等式的方法與技巧
放縮法：為放寬或縮小不等式的範圍的方法。常用在多項式中「捨掉一些正（負）項」而使不等式各項之和變小（大），或「在分式中放大或縮小分式的分子分母」，或「在乘積式中用較大（較小）因式代替」等效法，而達到其證題目的。
所謂放縮的技巧：即欲證，欲尋找乙個（或多個）中間變數c，使，由a到c叫做「放」，由b到c叫做「縮」。
常用的放縮技巧還有：（1）若（2）
（3）若則（4）（5）（6）或（7）等等。
用放縮法證明下列各題。
例1 求證：
證明：因為所以左邊因為99＜100（放大）＜所以
例2 （2023年海南理11）若求證：
證明：因為所以因為［因為（放大），所以又所以是增函式］，所以，所以
例3 （2023年雲南理1）求證：
證明：（因為）
［又因為（放大）］，所以所以
例4 已知求證：
證明：因為
例5 求證：
證明：因為（因為）（放大）所以
例6 （2023年湖南省會考）求證：當時，函式的最小值是當時，函式的最大值是
證明：因為原函式配方得又因為所以（縮小），所以函式y的最小值是。當所以（放大），所以函式y的最大值是
例7 求證：
證明：因為（分母有理化）所以原不等式成立。
例8 （2023年貴州省理21）若求證：
證明：因為而所以所以同理可證（當且僅當時，取等號）。
例9 已知a、b、c分別是乙個三角形的三邊之長，求證：
證明：不妨設據三角形三邊關係定理有：便得所以原不等式成立。
例10 （2023年湖南省理16）求證：
證明：因為又所以原不等式成立。
例11 求證：
證明：因為左邊證畢。
例12 求證
證明：因為所以左邊
注：1、放縮法的理論依據，是不等式的傳遞性，即若則。2、使用放縮法時，「放」、「縮」都不要過頭。
3、放縮法是一種技巧性較強的不等變形，一般用於兩邊差別較大的不等式。常用的有「添舍放縮」和「分式放縮」，都是用於不等式證明中區域性放縮。
放縮法證明不等式的基本策略
近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，而不等式的證明是高中數學中的乙個難點，它可以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用 放縮法 證明不等式的頻率很高，它是思考不等關係的樸素思想和基本出發點,有極大的遷移性,對它的運用往往能體現出創造性。放縮法 它可...
放縮法證明不等式
1 新增或捨棄一些正項 或負項 例1 已知 求證 解析 1 2 3 點評 若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小 由於證明不等式的需要，有時需要捨去或新增一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的 本題在放縮時就捨去了，從而是使和式得...
放縮法證明不等式
1 運用放大 縮小分母或分子的辦法來達到放縮的目的 分式的放縮對於分子分母均取正值的分式，如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可 如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可 還可利用真分數的分子和分母加上同乙個正數，則分數值變大 假分數的分子和分母加上同乙個正數，則分數值變小來進行放縮 例1 若a，...