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專題十五推理與證明
【考點定位】2010考綱解讀和近幾年考點分布
推理與證明是數學的基礎思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式，推理一般包括合情推理與演繹推理，在解決問題的過程中，合情推理具有猜測結論和發現結論、探索和提供思路的作用，有利於創新意識的培養。證明包括直接證明與間接證明，其中數學歸納法是將無窮的歸納過程，根據歸納原理轉化為有限的特殊（直接驗證和演繹推理相結合）的過程，要很好地掌握其原理並靈活運用。推理與證明問題綜合了函式、方程、不等式、解析幾何與立體幾何等多個知識點，需要採用多種數學方法才能解決問題，如：
函式與方程思想、化歸思想、分類討論思想等，對學生的知識與能力要求較高，是對學生思維品質和邏輯推理能力，表述能力的全面考查，可以彌補選擇題與填空題等客觀題的不足，是提高區分度，增強選拔功能的重要題型，因此在最近幾年的高考試題中，推理與證明問題正在成為乙個熱點題型，並且經常作為壓軸題出現。
【考點pk】名師考點透析
【名師點睛】
（1）合情推理
根據一類事物的部分物件具有某種性質，推出這類事物的所有物件都具有這種性質的推理，叫做歸納推理（簡稱歸納）。歸納是從特殊到一般的過程，它屬於合情推理；
根據兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質的推理，叫做模擬推理（簡稱模擬）。
模擬推理的一般步驟：
（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一（3）證明
反證法：要證明某一結論a是正確的，但不直接證明，而是先去證明a的反面（非a）是錯誤的，從而斷定a是正確的即反證法就是通過否定命題的結論而匯出矛盾來達到肯定命題的結論，完成命題的論證的一種數學證明方法。
反證法的步驟：1)假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；2)從這個假設出發，通過推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。
注意：可能出現矛盾四種情況：①與題設矛盾；②與反設矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結論。
分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那麼就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。
用分析法證明不等式的邏輯關係是：
分析法的思維特點是：執果索因；
分析法的書寫格式： 要證明命題b為真，只需要證明命題為真，
從而有……，這只需要證明命題為真，從而又有……
這只需要證明命題a為真，而已知a為真，故命題b必為真.
綜合法：利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法，
【試題演練】
1．（1）觀察圓周上n個點之間所連的弦，發現兩個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，你由此可以歸納出什麼規律？
（2）把下面在平面內成立的結論模擬推廣到空間，並判斷模擬的結論是否成立：
1）如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必於另一條相交。
2）如果兩條直線同時垂直與第三條直線，則這兩條直線平行。
解析：（1）設為個點可連的弦的條數，則
（2）1）乙個平面如和兩個平行平面中的乙個相交，則必然和另乙個也相交，次結論成立；
2）若兩個平面同時垂直第三個騙馬，則這兩個平面也相互平行，此結論不成立。
點評：當前提為真，結論可能為真的推理。一定要理解合情推理的必要性。
2．如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點，面是等邊三角形，稜。
（1）證明//平面；
（2）設，證明平面。
解析：（ⅰ）證明：取cd中點m，鏈結om.
在矩形abcd中，，又，
則，鏈結em，於是四邊形efom為平行四邊形.
又平面cde，切em平面cde，∵fo∥平面cde
（ⅱ）證明：鏈結fm，由（ⅰ）和已知條件，在等邊△cde中，
且。因此平行四邊形efom為菱形，從而eo⊥fm而fm∩cd=m，∴cd⊥平面eom，從而cd⊥eo.而，所以eo⊥平面cdf。
點評：本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.
3．（1）用反證法證明：如果a>b>0，那麼；（2）設數列｛an｝的前n項和為sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為sn－1，n＝1，2，3，…。（ⅰ）求a1，a2；（ⅱ）｛an｝的通項公式。
解析：（1）假設不大於，則或者<,或者=。
∵a>0，b>0，∴<<，<
，a=a=b.這些都同已知條件a>b>0矛盾，∴.
證法二（直接證法），
∵a>b>0,∴a - b>0即，
∴，∴。
（2）(ⅰ)當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為s1－1＝a1－1，
於是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝。
當n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為s2－1＝a2－，
於是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝。
(ⅱ)由題設(sn－1)2－an(sn－1)－an＝0，sn2－2sn＋1－ansn＝0。
當n≥2時，an＝sn－sn－1，代入上式得sn－1sn－2sn＋1＝0 ①
由(ⅰ)知s1＝a1＝，s2＝a1＋a2＝＋＝。
由①可得s3＝，由此猜想sn＝，n＝1，2，3，…
下面用數學歸納法證明這個結論
(i)n＝1時已知結論成立；(ii)假設n＝k時結論成立，即sk＝，
當n＝k＋1時，由①得sk＋1＝，即sk＋1＝，故n＝k＋1時結論也成立．
綜上，由(i)、(ii)可知sn＝對所有正整數n都成立，
於是當n≥2時，an＝sn－sn－1＝－＝，
又n＝1時，a1＝＝，所以｛an｝的通項公式an＝，n＝1，2，3，…
點評：要應用好反證法、數學歸納法證明一些涉及代數、不等式、幾何的結論。
【三年高考】 07、08、09 高考試題及其解析
2009高考試題及解析
則稱點為「點」，那麼下列結論中正確的是
a．直線上的所有點都是「點」 b．直線上僅有有限個點是「點」
c．直線上的所有點都不是「點」 d．直線上有無窮多個點（點不是所有的點）是「點」
【答案】a
【解析】本題採作數形結合法易於求解，如圖，
設，，∵，∴，
∵點在拋物線上，∴
整理得關於的方程（*）
∵恆成立，∴方程（*）恒有實數解，
∴應選a.
【考點定位】本題是選擇題的把關題，也是創新題型.她不僅有新概念，而且注重考察學生分析解決問題的能力。無論是題目條件的敘述，還是設問的方式，解題的方法都符合一道良好把關題的要求。
3上海文14.某地街道呈現東—西、南—北向的網格狀，相鄰街距都為1.兩街道相交的點稱為格點.
若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角座標系，現有下述格點，，，，，為報刊零售點.請確定乙個格點（除零售點外為發行站，使6個零售點沿街道到發行站之間路程的和最短.
【解析】設發行站的位置為，零售點到發行站的距離為，這六個點的橫縱座標的平均值為，，記畫出圖形可知，發行站的位置應該在點附近，代入附近的點的座標進行比較可知，在處取得最小值.
【答案】
，這六個點的橫縱座標的平均值為，，記畫出圖形可知，發行站的位置應該在點附近，代入附近的點的座標進行比較可知，在處取得最小值.
【答案】
【考點定位】本題考查了數學的應用意識、絕對值的意義、平行軸和軸的距離及估算的能力.如果對列出的目標函式通過計算求出最值難度很大，估算法切實可行.
5廣東文10．廣州2023年亞運會火炬傳遞在a、b、c、d、e五個城市之間進行，各城市之間的路線距離（單位：百公里）見下表.若以a為起點，e為終點，每個城市經過且只經過一次，那麼火炬傳遞的最短路線距離是
a. b.21 c.22 d.23
【答案】b
【解析】可以一一枚舉出從a到e的各種路線，可利用樹形圖表示：
共計有6種不同的路線，
其中, 路線③的距離最短, 最短路線距離等於,
故選b.
【考點定位】本題考查應用數學知識解決實際問題，實際考查樹形圖的運用。
6浙江文15．某地區居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價．該地區的電網銷售電價表如下：
若某家庭5月份的高峰時間段用電量為千瓦時，低谷時間段用電量為千瓦時，
則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為元（用數字作答）．
【答案】148.4
【解析】
【考點定位】本題背景新穎，充分考查了學生的探索能力，邏輯推理能力。注重分段函式的理解和運用。
7浙江理15．某地區居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價．該地區的電網銷售電價表如下：
若某家庭5月份的高峰時間段用電量為千瓦時，低谷時間段用電量為千瓦時，
則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為元（用數字作答）．
【答案】148.4
9. 湖北文理10。古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數，例如：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由於這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數;類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數成為正方形數。下列數中及時三角形數又是正方形數的是
a.289b.1024c.1225d.1378
【答案】c
【解析】由圖形可得三角形數構成的數列通項，同理可得正方形數構成的數列通項，則由可排除a、d，又由知必為奇數，故選c.
推理與證明教師版
要點考向1 合情推理 例1 2010 福建高考文科 觀察下列等式 1 cos2a 2 1 2 cos4a 8 8 1 3 cos6a 32 48 18 1 4 cos8a 128 256 160 32 1 5 cos10a m 1280 1120 n p 1.可以推測，m n p 命題立意 本題主要...
第三講推理與證明 教師版
1.合情推理包括和 歸納推理 從個別事實中推演出 模擬推理 根據兩個 或兩類 物件之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其它方面也或 2.演繹推理 三段論 例1.已知 通過觀察上述兩等式的規律，請你寫出一般性的命題 解 一般形式 將一般形式寫成 等均正確。變式訓練1 觀察式子 則可歸納出式子為 a...
13 2直接證明與間接證明 教師版
基礎知識 1.直接證明 2.間接證明 基礎練習 1.判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 綜合法是直接證明，分析法是間接證明 2 分析法是從要證明的結論出發，逐步尋找使結論成立的充要條件 3 用反證法證明結論 a b 時，應假設 a 4 反證法是指將結論和條件同時否定，推出矛盾 5 在解決問題...