第1課等差數列與等比數列
1，了解數列的概念及簡單表示，理解等差、等比數列的概念，掌握等比、等差數列的通項公式和前n項和公式。能在具體的問題情境中，識別數列的等差等比關係。
2，小題是等差、等比數列定義、性質、前n項和，通項公式等的考查，考查公式及性質的靈活運用，大題考查數列定義，求和、求通項，有關數列問題的證明及與函式、方程、不等式等知識交匯綜合.。
〖基點問題1〗數列的通項問題
例1 .(1)已知數列的前n項和為sn，且sn＝n－5an－85，n∈n*，則數列的通項公式為________；
(2)數列(bn>0)的首項為1，且它的前n項和sn滿足sn－sn－1＝＋(n≥2)，則數列的通項公式________．
(1)an＝－15×n－1＋1 (2)bn＝2n－1
【解析】 (1)當n＝1時，a1＝－14；當n≥2時，an＝sn－sn－1＝－5an＋5an－1＋1，所以an＝an－1＋，令an＋x＝(an－1＋x)，即：an＝an－1－x，∴－x＝，∴x＝－1，故有an－1＝(an－1－1)，
又a1－1＝－15≠0，所以數列是等比數列，所以an－1＝－15×n－1，即an＝－15×n－1＋1
(2)因為sn－sn－1n≥2)．
又bn>0， >0，∴－＝1；
數列{}構成乙個首項為1公差為1的等差數列，
＝1＋(n－1)×1＝n，sn＝n2.
當n≥2，bn＝sn－sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又b1＝1適合上式，
∴bn＝2n－1(n∈n*)．
〖基點問題2〗等差數列的基本問題
例2 （2023年高考福建卷文科17)（本小題滿分12分）
已知等差數列中，a1=1，a3=-3.
（i）求數列的通項公式；
（ii）若數列的前k項和sk=-35，求k的值.
〖基點問題3〗等比數列的基本問題
例3 〖基點問題4〗等差、等比數列的綜合問題
例4 （2023年高考湖北卷文科17)
成等差數列的三個正數的和等於15，並且這三個數分別加上2、5、13後成為等比數列
中的(ⅰ)求數列的通項公式；
(ⅱ)數列的前n項和為，求證：數列是等比數列.
本小題主要考查等差數列、等比數列及其求和公式等基礎知識，同時考查基本運算能力.
解析：（1）設成等差數列的三個正數分別為a-d，a, a+d.
依題意，得a-d+a+a+d=15,解得a=5.
所以中的依次為7-d，10，18+d.
依題意，有（7-d）（18+d）=100，解得d=2或d=-13（捨去）.
故的第3項為5，公比為2.
由，即，解得
所以是以為首項，2為公比的等比數列，其通項公式為.
（2）數列的前n項和即
所以因此是以為首項，公比為2的等比數列.
等差數列等比數列的判定與證明
例5．已知和滿足=,=+n, = - +
當m=1時，求證：對於任意的實數，數列一定不是等差數列
當=-，試判定數列是否為等比數列
解：證明：當m=1時， =1， =+1， =
假設數列是等差數列，則即
∴ 方程無實根所以對於任意實數，數列一定不是等差數列
當時，，，
= 所以時，數列是等比數列時數列不是等比數列
1、求數列通項an常用等差，等比數列通項公式，由數列遞推公式累加，累乘或利用數列週期性或化歸．
2、要證明乙個數列是（或不是）等差、等比數列，常利用定義、等比、等差中項證明。
1、一首項為正數的等差數列，前3項和與前11項之和相等，此數列的前幾項和最大
a、前6項 b、前7項 c、前8項 d、前9項
解析：∵s3=s11 ∴a4+a5+…+a11=04(a4+a11)=0 ∴a7>0, a8<0 ∴s7最大
2、數列中，a1=1，a2=5，an+2= an+1- an，則a1000=
a 5 b -5c 1d -1
解析：an+2= an+1- an，an+3=an+2- an+1兩式相加得：a n+3=- an, an+6= an ∴a1000= a166×6+4= a4=- a1=-1
3、定義「等和數列」在乙個數列中，如果每一項與它的後一項和都為同乙個常數，那麼這個數列叫做等和數列，這個常數叫公和，已知數列是等和數列，且a1=2，公和為5，那麼a18 = ，且這個數列的前21項和s21=
解析：由已知此數列為2,3,2,3,2,3…其中第18項為 3 ，s21=52
4、數列滿足：a1=1，且對任意m, n∈n+都有am+n=am+an+mn,則
解析：∵am+n=am+an+mn ∴an+1=an+a1+n=an+n+1 ∴an+1-an=n+1 ∴an-an-1=n
∴an =( an -an-1)+ ( an-1-an-2)+…+( a2-a1)+a1=n+(n-1)+ (n-2)+…+2+1= ∴==2(-)
∴+ +…+ =1+2
5、已知數列，都是公差為1的等差數列，其首項分別為a1 ,b1且a1+ b1=5，a1 ,b1∈n+ ，設cn = abn (n∈n+)，則數列的前10項和等於
a．55 b．70 c．85 d．100
解析：由題意有：an= a1+n-1, bn= b1+n-1, ∴cn= abn= a1+bn-1= a1+ b1-2+n=n+3，∴數列的前10項和為： 10×=85．
6.(2023年高考江蘇卷13)設，其中成公比為q的等比數列，成公差為1的等差數列，則q的最小值是________
【答案】
【解析】考察綜合運用等差、等比的概念及通項公式，不等式的性質解決問題的能力，難題。
由題意：，
，而的最小值分別為1，2，3；。
7．（2023年高考湖南卷文科20)（本題滿分13分）
某企業在第1年初購買一台價值為120萬元的裝置m，m的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初m的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初m的價值為上年初的75%．
（i）求第n年初m的價值的表示式；
（ii）設若大於80萬元，則m繼續使用，否則須在第n年初對m更新，證明：須在第9年初對m更新．
解析：（i）當時，數列是首項為120，公差為的等差數列．
當時，數列是以為首項，公比為為等比數列，又，所以
因此，第年初，m的價值的表示式為
(ii)設表示數列的前項和，由等差及等比數列的求和公式得
當時，當時，
因為是遞減數列，所以是遞減數列，又
所以須在第9年初對m更新．
第2課數列求和及綜合應用
1， 能在具體的問題情境中，識別數列的等差關係或等比關係，抽象出數列模型，通過構造等差、等比數列模型運用數列有關性質、公式解決簡單的實際問題。
2， 數列與函式、方程、不等式、三角、解析幾何等知識交匯；數列的應用問題。
〖基點問題1〗等差數列前項和的基本問題
例1已知為等差數列，，是前項和，則使得達到最大值的是〔 〕
a 21 b 20 c 19 d 18
解析：即，，選b
〖基點問題2〗數列的和與通項問題
例2已知數列的首項其前項的和為，且，則的取值範圍是〔 〕
解：，即，，即取值範圍是
〖基點問題3〗數列的和與不等式問題
例3設首項不為零的等差數列前項和是，若不等式對任意和正整數恆成立，則實數的最大值〔 〕
解析：，由解得
〖基點問題4〗等差中項與等比中項問題
例4.已知y－1,2x+y,3x+2y成等差數列，x,2x,2x+y成等比數列，若loga(xy)>1，則a的範圍是
a.(0,1) b.(0,1)∪(1,2) c.(1,2) d.(2,+∞)
解析：，選c〖熱點考向1〗裂項相消求和問題
例5數列中， 當n時，其前n項和滿足
求的表示式;設求數列的前n項和
解析： 由，得，
是乙個首項為1，公差為2的等差數列
適合上式
…〖熱點考向2〗數列的綜合問題
例6 （2023年高考四川卷文科20)（本小題共12分）
已知﹛﹜是以為首項，q為公比的等比數列，為它的前項和.
（ⅰ）當成等差數列時，求q的值；
(ⅱ)當，，成等差數列時，求證：對任意自然數也成等差數列.
(ⅱ)當成等差數列，則.
當時，由，得，即.
；當時，由，得，
化簡得.
，綜上，對任意自然數也成等差數列.
1、準確把握等差、等比數列定義、性質、公式，並能靈活運用；
2、解有關數列的應用問題，要從實際問題中抽象出數列模型，是等差、等比，還是遞推模型，
再運用相關知識求解；
3、對於數列與其它知識的交匯，要仔細審題，步步求解，注意數列與其它知識的綜合運用。
1，設為等比數列的前項和，已知，，則公比
（a）3b）4c）5d）6
解析：選b. 兩式相減得，，.
2，設是有正數組成的等比數列，為其前n項和。已知a2a4=1, ,則
（a） (b) (c) (d)
解:由a2a4=1可得，因此，又因為，聯力兩式有，所以q=,所以，故選b。
3，已知是首項為1的等比數列，是的前n項和，且，則數列的前5項和為
（a）或5 （b）或5 （cd）【答案】c
解析：顯然q1，所以，所以是首項為1，公比為
的等比數列， 前5項和.
4，設等差數列的前n項和為,若, ,則當取最小值時,n等於
a．6b．7c．8d．9【答案】a
解析：設該數列的公差為，則，解得，
所以，所以當時，取最小值。
5、數列中，a1 = 3/5 ，an =2―（n≥2）則a2008 =
a． b． c． d．
數列與不等式證明專題
複習建議 1 巧用性質 減少運算量 在等差 等比數列的計算中非常重要，但用 基本量法 並樹立 目標意識 需要什麼，就求什麼 既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得與 巧用性質 解題相同的效果 2 歸納 猜想 證明體現由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想 學習這部分知識...
數列與不等式證明專題
複習建議 1 巧用性質 減少運算量 在等差 等比數列的計算中非常重要，但用 基本量法 並樹立 目標意識 需要什麼，就求什麼 既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得與 巧用性質 解題相同的效果 2 歸納 猜想 證明體現由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想 學習這部分知識...
數列與不等式證明專題
複習建議 1 巧用性質 減少運算量 在等差 等比數列的計算中非常重要，但用 基本量法 並樹立 目標意識 需要什麼，就求什麼 既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得與 巧用性質 解題相同的效果 2 歸納 猜想 證明體現由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想 學習這部分知識...