單元能力檢測(十一)
[考查範圍：第十一單元演算法、複數、推理與證明]
時間：120分鐘分值：150分
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．有一段演繹推理是這樣的：「直線平行於平面，則平行於平面內所有直線；已知直線b平面α，直線a平面α，直線b∥平面α，則直線b∥直線a」，結論顯然是錯誤的，這是因為( )
a．大前提錯誤 b．小前提錯誤
c．推理形式錯誤 d．非以上錯誤
2．下面為乙個求20個數的平均數的程式，在橫線上應填充的語句為( )
a．i>20 b．i<20
c．i>＝20 d．i<＝20
3．設i為虛數單位，複數z1＝1－i，z2＝2i－1，則複數z1·z2在復平面上對應的點在( )
a．第一象限 b．第二象限
c．第三象限 d．第四象限
4．已知f(x)是定義域為正整數集的函式，對於定義域內任意的k，若f(k)≥k2成立，則f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命題成立的是( )
a．若f(3)≥9成立，則對於任意k≥1，均有f(k)≥k2成立
b．若f(4)≥16成立，則對於任意的k≥4，均有f(k)c．若f(7)≥49成立，則對於任意的k<7，均有f(k)d．若f(4)＝25成立，則對於任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立
5．下面使用模擬推理正確的是( )
a．「若a·3＝b·3，則a＝b」類推出「若a·0＝b·0，則a＝b」
b．「若(a＋b)c＝ac＋bc」類推出「(a·b)c＝ac·bc」
c．「若(a＋b)c＝ac＋bc」類推出「＝＋(c≠0)」
d．「(ab)n＝anbn」類推出「(a＋b)n＝an＋bn」
6．某程式框圖如圖d11－1所示，現輸入如下四個函式，則可以輸出的函式是( )
圖d11－1
a．f(x)＝x2 b．f(x)＝
c．f(x)＝ex d．f(x)＝sinx
7．給出下面模擬推理命題(其中q為有理數集，r為實數集，c為複數集)：
①「若a、b∈r，則a－b＝0a＝b」模擬推出「a、b∈c，則a－b＝0a＝b」；
②「若a、b、c、d∈r，則複數a＋bi＝c＋dia＝c，b＝d」模擬推出「a、b、c、d∈q，則a＋b＝c＋da＝c，b＝d」；
③「若a、b∈r，則a－b>0a>b」模擬推出「若a、b∈c，則a－b>0a>b」；
④「若x∈r，則|x|<1－1其中模擬結論正確的個數為( )
a．1 b．2
c．3 d．4 zxxk
8．下列代數式(其中k∈n*)能被9整除的是( )
a．6＋6·7k
b．3(2＋7k)
c．2(2＋7k＋1)
d．8＋7k－1
二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在答題卡相應位置)
9．如果複數(＋ai)i(a∈r)的實部與虛部互為相反數，則a的值等於________．
10．已知複數z滿足(1＋i)z＝1＋i，則|z
11．觀察下列不等式：1＞，1＋＋＞1,1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2,1＋＋＋…＋＞，…，由此猜測第n個不等式為n∈n*)．
12．現有乙個關於平面圖形的命題：如圖d11－2，同乙個平面內有兩個邊長都是a的正方形，其中乙個的某頂點在另乙個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.模擬到空間，有兩個稜長均為a的正方體，其中乙個的某頂點在另乙個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________．
圖d11－2
13.給出下面的數表序列：
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，表中每乙個數「兩腳」的兩數都是此數的2倍，記表n中所有的數之和為an，例如a2＝5，a3＝17，a4＝49.則
(1)a5
(2)數列的通項an
14．電子跳蚤遊戲盤是如圖d11－3所示的△abc，ab＝6，ac＝7，bc＝8.如果跳蚤開始是在bc邊的p0處，bp0＝2，跳蚤第一步從p0跳到ac邊的p1(第1次落點)處，且cp1＝cp0；第二步從p1跳到ab邊的p2(第2次落點)處，且ap2＝ap1；第三步從p2跳到bc邊的p3(第3次落點)處，且bp3＝bp2，…，跳蚤按上述規則一直跳下去，第n次落點為pn(n為正整數)，則點p2011與p2014間的距離為________．
圖d11－3
三、解答題(本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15．(12分)若z∈c，且|z|＝1，求|z－i|的最大值．
16．(13分)大小不等的三個圓兩兩外切，半徑成等差數列，試證明以各圓圓心為頂點的三角形的三內角不可能成等差數列．
17.(13分)證明：＝－.
18．(14分)若a>0，求證：－≥a＋－2.
19．(14分)請觀察思考如下過程：
23－13＝3·22－3·2＋1,33－23＝3·32－3·3＋1，…，n3－(n－1)3＝3n2－3n＋1，
把這n－1個等式相加得n3－1＝3·(22＋32＋…＋n2)－3·(2＋3＋…＋n)＋(n－1)，由此得
n3－1＝3·(12＋22＋32＋…＋n2)－3·(1＋2＋3＋…＋n)＋(n－1)，即12＋22＋…＋n2＝.
(1)根據上述等式推導出12＋22＋…＋n2的計算公式；
(2)模擬上述過程，推導出13＋23＋…＋n3的計算公式．
20．(14分)在單調遞增數列中，a1＝2，不等式(n＋1)an≥na2n對任意n∈n*都成立．
(1)求a2的取值範圍；
(2)判斷數列能否為等比數列？說明理由；
(3)設bn＝(1＋1)…，cn＝6，求證：對任意的n∈n*，≥0.
單元能力檢測(十一)
1．a [解析] 根據演繹推理的定義可知大前提錯誤．
2．a [解析] 依題意需迴圈20次．
3．a [解析] z1·z2＝(1－i)(2i－1)＝1＋3i.
4．d [解析] 對於a，當k＝1或2時，不一定有f(k)≥k2成立；對於b，應有f(k)≥k2成立；
對於c，只能得出：對於任意的k≥7，均有f(k)≥k2成立，不能得出：對於任意的k<7，均有f(k)∵f(4)＝25>16，∴對於任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立
5．c [解析] 模擬推理正確的只有c.
6．d [解析] 由程式框圖可知輸出的函式為奇函式且有零點，只有f(x)＝sinx滿足．
7．b [解析] 模擬結論正確的只有①②，故選b.
8．b [解析] (1)當k＝1時，顯然只有3(2＋7k)與8＋7k－1能被9整除．
(2)假設當k＝n(n∈n*)時，3(2＋7n)能被9整除，那麼
3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.這就是說，k＝n＋1時也成立．
由(1)(2)可知3(2＋7k)能被9整除．
9. [解析] (＋ai)i＝－a＋i，－a＝－，∴a＝.
10. [解析] z＝＝，|z|＝.
11．1＋＋＋…＋＞ [解析] 3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜測：1＋＋＋…＋＞(n∈n*)．zxxk
12. [解析] 解法的模擬(特殊化)，易得兩個正方體重疊部分的體積為.
13．129 (n－1)·2n＋1 [解析] (1)a5＝129，
(2)依題意，an＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1，①
由①×2得，2an＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n×2n，②
將①－②得－an＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n－1－n×2n
＝－n×2n＝2n－1－n×2n，
所以an＝(n－1)·2n＋1.
14．3 [解析] p0，p1，p2，p3等是按逆時針方向旋轉的，按此規律，在圖中標出p4，p5，p6後發現：p6回到了p0點，依此類推，呈週期性變化，週期為6，故點p2011回到p1點，p2014回到p4點，p2011p2014＝p1p4，因為cp1＝cp0＝6，ap1＝1，bp3＝bp2＝5，cp4＝cp3＝3，
所以p2011p2014＝p1p4＝3.
15．[解答] 由復數的幾何意義知，複數z對應的點在單位圓上，|z－i|的幾何意義是複數z對應的點到點(0,1)的距離，
所以當單位圓上取點(0，－1)時，距離最大為2.
即|z－i|的最大值為2.
16．[解答] 證明：設這三個圓的半徑由小到大順次是r1，r2，r3，它們所對應的圓心依次為o1，o2，o3.
由於r1，r2，r3成等差數列且設公差為d，則r1＝r2－d，r3＝r2＋d.假設△o1o2o3的三內角成等差數列，根據三角形的邊角大小關係容易知道只有∠o2＝60°.
又三角形的三邊為o1o2＝2r2－d，o1o3＝2r2，o2o3＝2r2＋d.
由餘弦定理可知o1o＝o1o＋o2o－2o1o2·o2o3cos60°，
即4r＝(2r2－d)2＋(2r2＋d)2－(2r2－d)(2r2＋d)，
即4r＝4r－4r2d＋d2＋4r＋4r2d＋d2－4r＋d2，
即d2＝0，即d＝0，此時r1＝r2＝r3，與已知矛盾．
所以以各圓圓心為頂點的三角形的三內角不可能成等差數列．
17．[解答] 證明：因為－＝＝，
當cosα＝sinα時，等式顯然成立，
當cosα≠sinα時，
要證＝－，[**:學科網zxxk]
只需證明＝，
只需證明(cosα＋sinα＋1)2＝2(1＋sinα＋cosα＋sinαcosα)，
由於(cosα＋sinα＋1)2＝2＋2cosα＋2sinα＋2sinαcosα，上面等式成立．上述各步都可逆，故所證等式成立，
即＝－.
18．[解答] 證明：要證－≥a＋－2，
需證＋2≥a＋＋，
需證a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，
需證≥，
需證a2＋≥，
需證a2＋≥2此式顯然成立，
故－≥a＋－2成立．
19．[解答] (1)由於＝[**:學科網]
(2n3＋3n2＋n)＝，[**:學.科.網z.x.x.k]
[**:學科網zxxk]
所以12＋22＋…＋n2＝.
(2)關鍵是關係式n3－(n－1)3＝3n2－3n＋1，模擬可以構造n4－(n－1)4的關係式．
第十一章推理與證明 演算法初步 複數 文數 第4講
基礎鞏固題組 建議用時 25分鐘 1.2015 福建卷改編 若 1 i 2 3i a bi a，b r，i是虛數單位 則a，b的值分別等於 解析 1 i 2 3i 3 2i a bi，a 3，b 2.答案 3，2 2.2016 長春質量監測 複數對應的點位於第 象限.解析複數 i，其對應的點為，在第...
複數 演算法 推理與證明
專題檢測 六 複數 演算法 推理與證明 一 選擇題 1 2017 全國卷 下列各式的運算結果為純虛數的是 a i 1 i 2b i2 1 i c 1 i 2 d i 1 i 解析 選c a項，i 1 i 2 i 2i 2，不是純虛數 b項，i2 1 i 1 i 1 i，不是純虛數 c項，1 i 2 ...
演算法初步 推理與證明 複數
演算法與流程圖 1.以下對演算法的描述正確的有個.對一類問題都有效 演算法可執行的步驟必須是有限的 計算可以一步步地進行，每一步都有確切的含義 是一種通法，只要按部就班地做，總能得到結果.答案 4 2.任何乙個演算法都必須有的基本結構是 答案順序結構 3.下列問題的演算法適宜用選擇結構表示的是 填序...