第ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的。)
1．(2011·遼寧瀋陽二中階段測試)已知複數z＝，則它的共軛複數等於( )
a．2－ib．2＋i
c．－2＋i d．－2－i
[答案] b
[解析] z＝＝＝2－i，故其共軛複數是2＋i.
2．(文)(2011·遼寧瀋陽二中階段測試)下面框圖表示的程式所輸出的結果是( )
a．1320 b．132
c．11880 d．121
[答案] a
[解析] 執行過程依次為：i＝12，x＝1→x＝12，i＝11→x＝132，i＝10→x＝1320，i＝9，此時不滿足i≥10，輸出x的值1320.
(理)(2011·江西南昌調研)若下面框圖所給的程式執行結果為s＝20，那麼判斷框中應填入的關於k的條件是( )
a．k＝9 b．k≤8
c．k<8 d．k>8
[答案] d
[解析] 執行過程依次為k＝10，s＝1→s＝11，k＝9→s＝20，k＝8→輸出s＝20，此時判斷框中的條件不滿足，因此應是k>8.
3．(文)(2011·黃岡市期末)若複數(a∈r，i是虛數單位)是純虛數，則實數a的值為( )
a．－2 b．4
c．－6 d．6
[答案] c
[解析] ∵＝＝是純虛數，a∈r，
∴，∴a＝－6，故選c.
(理)(2011·溫州八校期末)若i為虛數單位，已知a＋bi＝(a，b∈r)，則點(a，b)與圓x2＋y2＝2的關係為( )
a．在圓外 b．在圓上
c．在圓內 d．不能確定
[答案] a
[解析] ∵a＋bi＝＝＝＋i(a，b∈r)，∴，
∵2＋2＝>2，∴點p在圓x2＋y2＝2外，故選a.
4．(文)(2011·合肥市質檢)如圖所示，輸出的n為( )
a．10 b．11
c．12 d．13
[答案] d
[解析] 程式依次執行過程為：n＝0，s＝0→n＝1，s＝＝－→n＝2，s＝＝－，……
∴s＝－－－－－－1＋1＋＋＋＋＋＋>0，此時輸出n的值13.
(理)(2011·豐台區期末)已知程式框圖如圖所示，將輸出的a的值依次記為a1，a2，…，an，其中n∈n*且n≤2010.那麼數列的通項公式為( )
a．an＝2·3n－1 b．an＝3n－1
c．an＝3n－1 d．an＝(3n2＋n)
[答案] a
[解析] 程式執行過程依次為a＝2，n＝1，輸出a＝2，即a1＝2，n＝2，a＝3×2＝6，不滿足n>2010→輸出a＝6，即a2＝2×3，n＝3，a＝3×6＝18，仍不滿足n>2010→輸出a＝18，即a3＝2×32……因此可知數列的通項公式為an＝2×3n－1(n≤2010)．
5．(2011·蚌埠二中質檢)下列命題錯誤的是( )
a．對於等比數列而言，若m＋n＝k＋s，m、n、k、s∈n*，則有am·an＝ak·as
b．點為函式f(x)＝tan的乙個對稱中心
c．若|a|＝1，|b|＝2，向量a與向量b的夾角為120°，則b在向量a上的投影為1
d．「sinα＝sinβ」的充要條件是「α＋β＝(2k＋1)π或α－β＝2kπ (k∈z)」
[答案] c
[解析] 由等比數列通項公式知，am·an＝aqm＋n－2＝aqk＋s－2＝a1qk－1·a1qs－1＝akas，故a正確；
令2x＋＝kπ(k∈z)得，x＝－，
令k＝0得x＝－，∴是函式f(x)＝tan的乙個對稱中心，故b正確；
b在a方向上的投影為|b|·cos〈a，b〉＝2×cos120°＝－1，故c錯；
由sinα＝sinβ得α＝2kπ＋β或α＝2k2k＋1)π或α－β＝2kπ(k∈z)，故d正確．
6．(2011·安徽百校聯考)已知正項等比數列滿足：a7＝a6＋2a5，若存在兩項am、an，使得＝4a1，則＋的最小值為( )
a. b.
c. d．不存在
[答案] a
[解析] ∵為等比數列，an>0，a7＝a6＋2a5，∴a1q6＝a1q5＋2a1q4，∴q2－q－2＝0，∴q＝－1或2，∵an>0，
∴q＝2，∵＝4a1，∴a1qm－1·a1qn－1＝16a，
∴qm＋n－2＝16，即2m＋n－2＝24，∴m＋n＝6，∴＋＝(m＋n)＝≥，等號在＝，即m＝2，n＝4時成立，故選a.
7．(2011·山東日照調研)二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有乙個正根和乙個負根的充分不必要條件是( )
a．a>0 b．a<0
c．a>1 d．a<－1
[答案] d
[解析] ∵方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有乙個正根和乙個負根，∴或，∴a<0，因此，當a<－1時，方程有乙個正根和乙個負根，僅當方程有乙個正根和乙個負根時，不一定有a<－1，故選d.
8．觀察等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝和sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝，…，由此得出以下推廣命題，則推廣不正確的是( )
a．sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝
b．sin2(α－30°)＋cos2α＋sin(α－30°)cosα＝
c．sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝
d．sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝
[答案] a
[解析] 觀察已知等式不難發現，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，推廣後的命題應具備此關係，但a中α與β無聯絡，從而推斷錯誤的命題為a.選a.
9．(2011·山東濰坊一中期末)一次研究性課堂上，老師給出函式f(x)＝(x∈r)，甲、乙、丙三位同學在研究此函式時分別給出命題：
甲：函式f(x)的值域為(－1,1)；
乙：若x1≠x2，則一定有f(x1)≠f(x2)；
丙：若規定f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，則fn(x)＝對任意n∈n*恆成立
你認為上述三個命題中正確的個數有( )
a．3個 b．2個
c．1個 d．0個
[答案] a
[解析] 當x>0時，f(x)＝∈(0,1)，當x＝0時，f(0)＝0，當x<0時，f(x)＝∈(－1,0)，∴f(x)的值域為(－1,1)，且f(x)在(－∞，＋∞)上為增函式，因此，x1≠x2時，一定有f(x1)≠f(x2)．
∵f(x)＝，f1(x)＝f(x)，∴f1(x)＝，又fn(x)＝f(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f(f1(x))＝f＝＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝f＝＝……
可知對任意n∈n*，fn(x)＝恆成立，故選a.
10．(2011·陝西寶雞質檢)如果函式f(x)對任意的實數x，存在常數m，使得不等式|f(x)|≤m(x)恆成立，那麼就稱函式f(x)為有界泛函式，下面四個函式：
①f(x)＝1; ②f(x)＝x2；
③f(x)＝(sinx＋cosx)x; ④f(x)＝.
其中屬於有界泛函式的是( )
a．①② b．①③
c．②④ d．③④
[答案] d
[解析] 對任意實數x.∵sinx＋cosx＝sin≤，∴存在常數m≥，有|sinx＋cosx|≤m成立，
∴|x(sinx＋cosx)|≤m|x|，即|f(x)|≤m|x|成立，∴③是有界泛函式；
又∵x2＋x＋1＝2＋≥，
∴≤，∴存在常數m≥，使≤m(x)，即|f(x)|≤m|x|成立，
故④是有界泛函式，因此選d.
11．(2011·北京學普教育中心聯考版)觀察下列算式：
21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…
用你所發現的規律得出22011的末位數字是( )
a．2 b．4
c．6 d．8
[答案] d
[解析] 觀察發現，2n的末位數字以4為週期出現，依次為2,4,8,6,2011被4除的餘數為3，故22011的末位數字與23的末位數字相同，故選d.
12．(2011·河北冀州中學期末)如圖所示的三角形數陣叫「萊布尼茲調和三角形」，它們是由整數的倒數組成的，第n行有n個數且兩端的數均為(n≥2)，每個數是它下一行左右相鄰兩數的和，如則第10行第4個數(從左往右數)為( )
a. b.
c. d.
[答案] b
[解析] 第10行第1個數為，第2個數為－＝，第9行第1個數為，第2個數為－＝，∴第10行第3個數為－＝，第8行第1個數為，第2個數為－＝，故第9行第3個數為－＝，∴第10行第4個數為－＝.
第ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13．(文)(2011·江西吉安期末)請閱讀下列材料：若兩個正實數a1，a2滿足a＋a＝1，那麼a1＋a2≤.證明：
建構函式f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.因為對一切實數x，恒有f(x)≥0，所以δ≤0，從而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.模擬上述結論，若n個正實數滿足a＋a＋…＋a＝1，你能得到的結論為________．
[答案] a1＋a2＋…＋an≤(n∈n*)
[解析] 建構函式f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，
∵f(x)≥0對任意實數x都成立，
∴δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，
∵a1，a2，…，an都是正數，∴a1＋a2＋…＋an≤.
(理)(2011·北京學普教育中心)我們知道，在邊長為a的正三角形內任一點到三邊的距離之和為定值，模擬上述結論，在稜長為a的正四面體內任一點到其四個面的距離之和為定值________．
[答案]
[解析] 在正三角形內到三邊的距離之和等於正三角形的高；正三角形的邊模擬空間正四面體的面，正四面體內任一點到其四個面的距離之和等於正四面體的高.
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