推理證明、複數、演算法框圖
【考綱解讀】
1.理解複數的基本概念;理解複數相等的充要條件;了解複數的代數表示法及其幾何意義．
2.會進行複數代數形式的四則運算．② 了解複數代數形式的加、減運算的幾何意義．
3.了解合情推理的含義，能利用歸納和模擬等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用．
4.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，並能運用它們進行一些簡單推理．
5.了解合情推理和演繹推理之間的聯絡和差異．
6.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點．
7.了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點．
(理科)8.了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．
9.了解演算法的含義，了解演算法的思想;理解程式框圖的三種基本邏輯結構：順序、條件分支、迴圈．
10.理解幾種基本演算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、迴圈語句的含義．
【考點**】
今年高考對本部分知識的命題主要有以下兩個方面：
1.複數與演算法框圖是歷年高考的熱點內容，考查方式主要在客觀題中出現，一般只有乙個選擇或填空，考查複數的基礎知識、演算法框圖以迴圈結構為主，難度較低。
2.推理證明也是高考的乙個重點內容，考查方式多樣，在客觀題中主要考查合情推理中的歸納與模擬，證明題目多以解答題的乙個分支出現，常與數列、導數、不等式等知識結合，理科可能考查數學歸納法，難度較高，將繼續強調考查邏輯推理、歸納等能力。
【要點梳理】
1.合情推理與演繹推理：合情推理包括歸納與模擬，明確演繹推理的三個模式（大前提、小前提、結論）.
2.直接證明與間接證明:直接證明包括分析法(執果索因)與綜合法(執因索果);常用的間接證明方法是反證法,反證法主要用於證明唯一性與否定性命題,其主要步驟是否定結論、證明、得出矛盾、肯定結論.
3.(理科)數學歸納法:用來證明與自然數有關的等式、不等式、整除及幾何等問題。證明時，特別注意第二步，要弄清式子的構成規律，充分利用題目中的條件和假設，適當變形。
4.複數:掌握複數的分類、複數相等、模、幾何意義、複數的四則運算。
【考點**】
考點一推理
例1. (2023年高考江西卷理科7)觀察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，則的末四位數字為( )
a．3125 b．5625 c．0625 d．8125
【答案】d
【解析】觀察發現冪指數是奇數的,結果後三位數字為125,故排除b、c選項;而,故a也不正確, 所以選d.
【名師點睛】本題考查合情推理中的歸納推理.
【備考提示】：推理分為合情推理與演繹推理,都是高考的重點內容之一,必須熟練其模式.
練習1:(2023年高考山東卷理科15)設函式,觀察:
根據以上事實，由歸納推理可得：
當且時【答案】
【解析】觀察知:四個等式等號右邊的分母為,即,所以歸納出分母為的分母為,故當且時，.
考點二間接證明與直接證明
例2. (2023年高考安徽卷理科19)
（ⅰ）設證明，
（ⅱ），證明.
【證明】(ⅰ)由於，所以
要證明：
只要證明：
只要證明：
只要證明：
只要證明：
由於，上式顯然成立，所以原命題成立。
（ⅱ）設，，由換底公式得
，，，，故
要證：只要證明：，其中，
由(ⅰ)知所要證明的不等式成立。
【名師點睛】本題考查不等式的基本性質，對數函式的性質和對數換底公式等基本知識，考查代數式恆定變形能力和推理論證能力,用的分析法證明的。第二問的處理很有藝術性，借助第一問題的結論巧妙地解決了，這也是一題多問的問題解決常規思路，前面的問題結論對後面問題解決常常有提示作用。
【備考提示】：證明不等式常規的方法有分析法，綜合法，作差法和作商法，無論哪種方法不等式性質和代數式恆定變形是處理這類問題的關鍵。
練習2:(2023年高考廣東卷理科20)設數列滿足,
(1) 求數列的通項公式；(2)證明：對於一切正整數n,.
【解析】（1）由
令，當①當時，
②當（2）當時，（欲證）
，當綜上所述
(理科)考點三數學歸納法
例3.(2023年高考湖南卷理科22)已知函式
求函式的零點個數，並說明理由；
設數列滿足證明：存在常數
使得對於任意的都有
【解析】由知，，而且，
，則為的乙個零點，且在內由零點，
因此至少有兩個零點.由，記則當時，因此在上單調遞增，則在上至多有乙個零點，從而在上至多有乙個零點.
綜上所述，有且只有兩個零點.
記的正零點為，即
（1）當時，由得，而，因此.
由此猜測：.下面用數學歸納法證明.
①當時，顯然成立，
②假設當時，成立，則當時，由
知因此，當時，成立
故對任意的成立
（2）當時，由知在上單調遞增，則，
即，從而，即.
由此猜測：，下面用數學歸納法證明.
①當時，顯然成立，
②假設當時，成立，則當時，由
知因此，當時，成立
故對任意的成立
綜上所述，存在常數使得對於任意的都有
【名師點睛】本大題綜合考查函式與導數、數列、不等式等數學知識和方法以及數學歸納法、放縮法等證明方法的靈活運用.突出考查綜合運用數學知識和方法分析問題、解決問題的能力.
【備考提示】：數學歸納法是理科考查的內容之一，要熟練其證明模式，特別是在步驟以及
容易出錯的地方加以注意。
練習3：（2023年高考江蘇卷試題23）已知△abc的三邊長都是有理數。
（1）求證cosa是有理數；（2）求證：對任意正整數n，cosna是有理數。
【解析】（方法一）（1）證明：設三邊長分別為，，∵是有理數，是有理數，分母為正有理數，又有理數集對於除法的具有封閉性，
∴必為有理數，∴cosa是有理數。
（2）①當時，顯然cosa是有理數；
當時，∵，因為cosa是有理數， ∴也是有理數；
②假設當時，結論成立，即coska、均是有理數。
當時，，，，
解得：∵cosa，，均是有理數，∴是有理數，
∴是有理數。
即當時，結論成立。
綜上所述，對於任意正整數n，cosna是有理數。
（方法二）證明：（1）由ab、bc、ac為有理數及餘弦定理知
是有理數。
（2）用數學歸納法證明cosna和都是有理數。
①當時，由（1）知是有理數，從而有也是有理數。
②假設當時，和都是有理數。
當時，由，
，及①和歸納假設，知和都是有理數。
即當時，結論成立。
綜合①、②可知，對任意正整數n，cosna是有理數。
考點四複數
例4. (2023年高考安徽卷理科1)設是虛數單位，複數為純虛數，則實數a 為( )
（a）2b) 2cd)
【答案】a.
【解析】設，則，所以.故選a.
【名師點睛】本題考查複數的基本運算，屬簡單題.
【備考提示】：複數是高考的熱點內容，年年必考，以選擇或填空題的形式出現，主要考查複數的概念、複數相等、幾何意義以及複數的四則運算，熟練基礎知識是解決本類問題的關鍵.
練習4：(2023年高考山東卷理科2)複數z=(為虛數單位)在復平面內對應的點所在象限為（ ）
（a）第一象限 (b)第二象限 (c)第三象限 (d)第四象限
【答案】d
【解析】因為,故複數z對應點在第四象限,選d.
考點五演算法框圖
例5. (2023年高考全國新課標卷理科3)執行右面的程式框圖，如果輸入的n是6，那麼輸出的是（ ）
a 120b 720
c 1440d5040
【答案】b
【解析】按照演算法的程式化思想，有程式框圖執行下面的計算可得：
，此時，按終止條件結束，輸出。
【名師點睛】本題考查演算法的程式化思想、演算法框圖的結構、功能、邏輯思維能力和運算能力。注意理解和把握。
【備考提示】：框圖仍然是高考的乙個熱點，在高考中，乙個般乙個選擇或填空題，難度不大，大多與數列或不等式等知識結合起來命題，故熟練其基礎知識是解決本類問題的關鍵.
練習5：(2023年高考遼寧卷理科6)執行右面的程式框圖，如果輸入的n是4，則輸出的p是（ ）
(a) 8b) 5 (c) 3d) 2
【答案】c
【解析】第一次執行結果：p=1,s=1,t=1,k=2;
第二次執行結果：p=2,s=1,t=2,k=3;
第三次執行結果：p=3,s=2,t=3,k=4;結束迴圈，輸出p的值4.
【考題回放】
1. (2023年高考天津卷理科1) 是虛數單位，複數=（ ）
a. bcd.
【答案】a
【解析】因為，故選a.
2.(2023年高考浙江卷理科2)把複數的共軛複數記作，若，為虛數單位，則=（ ）
（a） （b） （c）（d）
【答案】 a
【解析】 故選a
3．(2023年高考廣東卷理科1)設複數z滿足(1+i)z=2，其中i為虛數單位，則z=（ ）
a．1+i b．1-i c．2+2i d．2-2i
【答案】b
【解析】由題得所以選b.
4.(2023年高考遼寧卷理科1)a為正實數，i為虛數單位，，則a=（ ）
（a）2 （b） (cd)1
【答案】b
【解析】,a>0,故a=.
5. (2023年高考全國新課標卷理科1)複數的共軛複數是（ ）
a b c d;
【答案】c
【解析】因為=，所以，共軛複數為，選c。
6.(2023年高考江西卷理科1)若，則複數（ ）
abcd.
【答案】d
【解析】因為=，所以複數,選d.
7．(2023年高考湖北卷理科1)i為虛數單位，則=（ ）
a.－i b.－1 c.i d.1
【答案】a
【解析】因為,故所以選a.
8．(2023年高考陝西卷理科7)設集合，
則為（ ）
（a） （b） （c） （d）
2019屆高考數學二輪複習跟蹤測試12推理與證明
推理與證明 注意事項 1.本卷共150分，考試時間100分 2.題型難度 難度適中 3.考察範圍 推理與證明 4.試題型別 選擇題10道，填空題4道，簡答題6道。5.含有詳細的參 6.試卷型別 高考二輪複習專題訓練 一 選擇題 1.平面內有4個圓和1條拋物線，它們可將平面分成的區域的個數最多是 a ...
2019版高考數學二輪複習專題訓練解析幾何
安徽財經大學附中2013版高考數學二輪複習專題訓練 解析幾何 本試卷分第 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分 滿分150分 考試時間120分鐘 第 卷 選擇題共60分 一 選擇題 本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1 與原點及點的距離都...
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高考數學二輪複習資料引數方程 極座標 本章重點與難點 重點 會運用直線和圓錐曲線的引數方程，解決有關計算和證明問題 會運用引數方程求軌跡的方程 能運用簡單曲線的極座標方程和圓錐曲線的極座標方程解決有關的計算和證明問題 並能根據已知條件求某些曲線的極座標方程 難點 引數方程與普通方程的互化與極座標直角...