2014屆高考數學二輪複習資料
專題三數列（學生版）
【考綱解讀】
1.理解數列的概念，了解數列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數列的一種方法，並能根據遞推公式寫出數列的前幾項.
2.理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，並能運用公式解答簡單的問題.
3.理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，並能運用公式解決簡單的問題.
【考點**】
1.等差（比）數列的基本知識是必考內容，這類問題既有選擇題、填空題，也有解答題；難度易、中、難三類皆有.
2.數列中an與sn之間的互化關係也是高考的乙個熱點.
3.函式思想、方程思想、分類討論思想等數學思想方法在解決問題中常常用到，解答試題時要注意靈活應用.
4.解答題的難度有逐年增大的趨勢,還有一些新穎題型,如與導數和極限相結合等.
因此複習中應注意：
1.數列是一種特殊的函式，學習時要善於利用函式的思想來解決.如通項公式、前n項和公式等.
2.運用方程的思想解等差（比）數列，是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好設未知數、列出方程、解方程三個環節，常通過「設而不求，整體代入」來簡化運算.
3.分類討論的思想在本章尤為突出.學習時考慮問題要全面，如等比數列求和要注意q=1和q≠1兩種情況等等.
4.等價轉化是數學複習中常常運用的，數列也不例外.如an與sn的轉化；將一些數列轉化成等差（比）數列來解決等.複習時，要及時總結歸納.
5.深刻理解等差（比）數列的定義，能正確使用定義和等差（比）數列的性質是學好本章的關鍵.
6.解題要善於總結基本數學方法.如觀察法、模擬法、錯位相減法、待定係數法、歸納法、數3.常用性質:(1)等差數列中,若,則;
(2)等比數列中,若,則.
4.求和:
(1)等差等比數列,用其前n項和求出;
(2)掌握幾種常見的求和方法:錯位相減法、裂項相消法、分組求和法、倒序相加法;
(3)掌握等差等比數列前n項和的常用性質.
【考點**】
考點1 等差等比數列的概念及性質
在等差、等比數列中，已知五個元素或，中的任意三個，運用方程的思想，便可求出其餘兩個，即「知三求二」。本著化多為少的原則，解題時需抓住首項和公差（或公比）。另外注意等差、等比數列的性質的運用.
例如（1）等差數列中，若，則；等比數列中，若，則.
（2）等差數列中，成等差數列。其中是等差數列的前n項和；等比數列中（），成等比數列。其中是等比數列的前n項和；
（3）在等差數列中，項數n成等差的項也稱等差數列.
（4）在等差數列中，； .
在複習時，要注意深刻理解等差數列與等比數列的定義及其等價形式.注意方程思想、整體思想、分類討論思想、數形結合思想的運用.
例1. (2023年高考重慶卷理科11)在等差數列中，，則
另外可以變形轉化為等差數列與等比數列，利用等差數列與等比數列的性質解決問題.
例2.（2023年高考四川卷文科9)數列的前n項和為sn，若a1=1, an+1 =3sn(n≥1),則a6=( )
（a）3 ×44b）3 ×44+1
(c) 44d）44+1
練習2.（2023年高考遼寧卷文科5)若等比數列滿足anan+1=16n，則公比為（ ）
（a）2b）4c）8d）16
考點3 數列的通項公式與前n項和公式的應用
等差、等比數列的前n項和公式要深刻理解，等差數列的前n項和公式是關於n的二次函式.等比數列的前n項和公式（），因此可以改寫為是關於n的指數函式，當時，.
例3.(2023年高考江蘇卷13)設，其中成公比為q的等比數列，成公差為1的等差數列，則q的最小值是
練習3. (2023年高考浙江卷文科5)設為等比數列的前n項和，則( )
(a)-11b)-8
(c)5d)11
考點4. 數列求和
例4. (山東省濟南市2023年2月高三教學質量調研理科20題)
已知為等比數列，；為等差數列的前n項和，.
（1） 求和的通項公式；
（2） 設，求.
練習4. （2023年高考山東卷文科18）
已知等差數列滿足：，.的前n項和為.
（ⅰ）求及；（ⅱ）令（）,求數列的前n項和.
考點5 等差、等比數列的綜合應用
解綜合題要總攬全域性，尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已知條件，在後面求解的過程中適時應用．
例5．(2023年高考浙江卷理科19)已知公差不為0的等差數列的首項(),設數列的前n項和為，且，，成等比數列（ⅰ）求數列的通項公式及（ⅱ）記，，當時，試比較與的大小.
練習5.(2023年高考天津卷文科20)
(2)求數列的通項公式，並求出使得成立的最小正整數.
【考題回放】
1.(2023年高考安徽卷文科7)若數列的通項公式是,則（ ）
（a） 15b) 12cd)
2. （2023年高考江西卷文科5)設{}為等差數列，公差d = -2，為其前n項和.若，則=（ ）
a.18 b.20 c.22 d.24
3. (2023年高考江西卷理科5)已知數列{}的前n項和滿足：，且=1．那麼=（ ）
a．1 b．9 c.10 d．55
4. (2023年高考四川卷理科8)數列的首項為， 為等差數列且 .若則，，則( )
（a）0 （b）3 （c）8d）11
5．（ 2023年高考全國ⅰ卷文科4）已知各項均為正數的等比數列{}， =5， =10，則=（ ）
(a) (b) 7 (c) 6 (d)
6．（2023年高考全國卷ⅱ文科6）如果等差數列中， ++=12，那麼
（a）14 (b) 21 (c) 28 (d) 35
7.（2023年高考安徽卷理科第5題）已知為等差數列， ++=105， =99，以表示的前項和，則使得達到最大值的是高 （ ）
（a）21 （b）20 （c）19 （d） 18
8. （2023年高考廣東卷a文科第5題）已知等比數列的公比為正數，且·=2， =1，則= （ ）
a. b. c. d.2
9．（2023年高考湖南卷文科第3題）設是等差數列的前n項和，已知，，則等於( )
a．13b．35c．49d． 63
10. （2023年高考福建卷理科第3題）等差數列的前n項和為，且=6， =4， 則公差d等於( )
a．1bc.- 2d 3
11．（2023年高考江西卷理科第8題）數列的通項，其前項和為，則為( )
abcd．
12.（2023年高考湖北卷文科9)《九章算術》「竹九節」問題：現有一根9節的竹子，自下而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共3公升，下面3節的容積共4公升，則第5節的16.
（2023年高考浙江卷文科17)若數列中的最大項是第項，則=_______。
17. （2023年高考江西卷文科21) (本小題滿分14分）
（1）已知兩個等比數列，滿足，
若數列唯一，求的值；
（2）是否存在兩個等比數列，使得成公差為
的等差數列？若存在，求的通項公式；若存在，說明理由．
18. （2023年高考福建卷文科17)（本小題滿分12分）
已知等差數列中，a1=1，a3=-3.
（i）求數列的通項公式；
（ii）若數列的前k項和sk=-35，求k的值.
19．（2023年高考湖南卷文科20)（本題滿分13分）
某企業在第1年初購買一台價值為120萬元的裝置m，m的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初m的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初m的價值為上年初的75%．
（i）求第n年初m的價值的表示式；
（ii）設若大於80萬元，則m繼續使用，否則須在第n年初對m更新，證明：須在第9年初對m更新．
20. （2023年高考四川卷文科20)（本小題共12分）
已知﹛﹜是以為首項，q為公比的等比數列，為它的前項和.
（ⅰ）當成等差數列時，求q的值；
(ⅱ)當，，成等差數列時，求證：對任意自然數也成等差數列.
21．（2023年高考天津卷文科22）（本小題滿分14分）
在數列中， =0，且對任意k，成等差數列，其公差為2k.
（ⅰ）證明成等比數列；（ⅱ）求數列的通項公式；
（ⅲ）記，證明.
22．(2023年高考北京卷文科16)
已知為等差數列，且，。
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）若等差數列滿足，，求的前n項和公式
23．(2023年高考江西卷文科22)（本小題滿分14分）
正實數數列中，，，且成等差數列．
（1）證明數列中有無窮多項為無理數；
（2）當為何值時，為整數，並求出使的所有整數項的和．
24. (2023年高考浙江卷文科19)（本題滿分14分）設a1，d為實數，首項為a1，公差為d的等差數列的前n項和為sn，滿足+15=0。
（ⅰ）若=5，求及a1；
（ⅱ）求d的取值範圍。
【高考衝策演練】
一、選擇題：
4．(2023年高考江西卷文科7)等比數列中，，，，則
a． b． c． d．
5．（2023年高考遼寧卷文科3）設為等比數列的前項和，已知，，則公比( )
（a）3b）4c）5d）6
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推理證明 複數 演算法框圖 考綱解讀 1.理解複數的基本概念 理解複數相等的充要條件 了解複數的代數表示法及其幾何意義 2.會進行複數代數形式的四則運算 了解複數代數形式的加 減運算的幾何意義 3.了解合情推理的含義，能利用歸納和模擬等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用 4.了解演繹推理...