專題複數
本章內容主要是複數的概念、複數的運算．引入虛數，這是中學階段對數集的最終擴充．需要掌握複數的概念、弄清實數與複數的關係，掌握複數代數形式的運算(包括加、減、乘、除)，了解復數的幾何表示．由於向量已經單獨學習，因此複數的向量形式與三角形式就不作要求，主要解決代數形式．
【知識要點】
1．複數的概念中，重要的是複數相等的概念．明確利用「轉化」的思想，把虛數問題轉化為實數問題加以解決，而這種「轉化」的思想是通過解實數的方程(組)的方法加以實現．
2．複數的代數形式：z＝a＋bi(a，b∈r)．應該注意到a，b∈r是與z＝a＋bi為乙個整體，解決虛數問題實際上是通過a，b∈r在實數集內解決實數問題．
3．複數的代數形式的運算實際上是複數中實部、虛部(都是實數)的運算．
【複習要求】
1．了解數系的擴充過程．理解複數的基本概念與複數相等的充要條件．
2．了解複數的代數表示法及其幾何意義．
3．能進行複數代數形式的四則運算，了解複數代數形式的加、減運算的幾何意義．
【例題分析】
例1 m(m∈r)取什麼值時，複數z＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是(1)實數?(2)純虛數?(3)零?
【分析】此類問題可以應用複數的定義加以解決．
解：(1)當m2－5m－6＝0，即m＝－1或m＝6時，複數z為實數；
(2)當，即m＝4時，複數z為純虛數；
(3)當，即m＝－1時，複數z為零．
【評析】本題主要考查實數、純虛數的定義，需要對複數的實部、虛部加以研究．應該注意到複數的實部、虛部都是實數，解決複數的問題時實際上是在進行實數運算．這一點大家在後面的運算中更加能夠體會到．
例2 判斷下列命題的對錯：
(1)復平面內y軸上所有點的集合與純虛數集是一一對應的；
(2)兩個複數a＋bi＝c＋di的充要條件是a＝c，b＝d；
(3)任意兩個確定的複數都不能比較大小；
(4)若z1＋z2∈r，則z1，z2為共軛複數．
【分析】本題進一步考察數系的概念，大家在解決此類問題時一定要跳出實數這個圈子，考慮全面一些．
解：(1)錯誤．復平面內y軸上的原點對應的是實數0，不是純虛數．
(2)錯誤．複數a＋bi中並沒有強調a，b∈r這一條件，因此a，b不一定是複數的實部、虛部，例如：3i＋4i＝5i＋2i，此時，a＝3i，b＝4、c＝5i，d＝2，a＝c，b＝d不成立．
(3)錯誤．複數中的兩個確定的實數是可以比較大小的．
(4)錯誤．z1＝3＋4i，z2＝5－4i，z1＋z2＝8∈r，z1，z2不是共軛複數．
【評析】(4)中需要注意不能從兩個複數運算的結果來判定這兩個複數的範圍；(3)中再次強調複數中對於實部和虛部必須加以明確；對於判斷命題的正確與否的問題，錯誤的要能舉出反例(乙個即可)，正確的要能加以證明．錯誤的命題最好能夠加以改正．
例3 計算下列各式的值：
(1)(2)(1＋2i)(3－4i)(2－i)；
(3)|(5＋12i)(3－4i)|．
【分析】這是本專題的重點，運算中要運用法則，還要觀察題目本身的特點．
解：(1)
(2)(1＋2i)(3－4i)(2－i)＝(3－4i＋6i＋8)(2－i)＝(11＋2i)(2－i)＝24－7i．
(3)|(5＋12i)(3－4i)|＝|(5＋12i)||(3－4i)|＝
【評析】(1)中的變號問題不容忽視；(2)中不妨再把後兩個括號先算，對結果加以驗證；(3)中運用複數模的運算法則要比先運算再取模方便得多．複數的計算是高考中考察複數知識的重點，運算要準確，不要圖快，最好從多個角度加以驗證．
例4 已知複數z＝1＋i，表示z的共軛複數，且az＋2b＝(a＋2z)2，
求實數a，b的值．
【分析】利用複數相等的充要條件列出實數的方程或方程組是解決此類問題的一般方法．
解：∵z＝1＋i，∴＝1－i，
∵∴，∴(a＋2b)＋(a－2b)i＝(a2＋4a)＋(4a＋8)i，
即：(a＋2b)＋(a－2b)i＝(a2＋4a)＋(4a＋8)i，
∴ 解得或
【評析】應注意到a，b是實數這一條件在本題中的作用，如果沒有這個條件，那麼a，b都要按照複數來求，問題就複雜多了．
習題12
1．1＋i＋i2＋…＋i2008的值是( )
a．0 b．－1 c．1 d．i
2．複數z1＝(a2＋3)＋(－4a－3)i，z2＝(a－7)＋(a2＋a)i，若z1＋z2＝2＋i，則實數a的值為( )
a．－3 b．2 c．1 d．不存在
3．若複數的實部和虛部互為相反數，則b＝( )
a． b． c． d．2
4．複數的共軛複數為( )
a．1＋2i b．1－2i c． d．
5．若a是實數，是純虛數，則a＝______．
6．複數，若，則|z3|等於______．
7．復平面內，複數z＝sin2＋icos2對應的點所在的象限是______．
8．虛數z＝(x－2)＋yi(x，y∈r)，若虛數的模｜z|＝1，則的取值範圍是______．
9．已知複數i(mr)，當z是(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數時，分別求m的值或取值範圍．
10．已知複數(3x＋2y)＋5xi與複數18＋(y－2)i的共軛複數相等，求實數x，y的值．
11．已知函式，求f(1＋i)與f(1－i)的值．
專題十二複數參***
習題12
一、選擇題：
1．c 2．d 3．b 4．a
提示：(1)解：1＋i＋i2＋…＋i2008＝
(2)解：z1＋z2＝(a2＋3＋a－7)＋(－4a－3＋a2＋a)i＝2＋i，
即：方程組無解．
二、填空題
5．1； 6．； 7．第四象限； 8．
提示：(6)解：
(8)解：∵，設
則k為過圓(x－2)2＋y2＝1上點及原點的直線斜率，作圖如下，
，又∵y≠0，∴k≠0．∴
三、解答題：
9．解：(1)當z是實數時，有
(2)當z是虛數時，有且．
(3)當z是純虛數時，有
10．解：∵x，yr，∴
∵11．解：∵∴
2023年高考數學 理 二輪複習專題提公升訓練1練習卷
一 選擇題 1 同時滿足兩個條件 定義域內是減函式 定義域內是奇函式的函式是 a f x x x b f x x3 c f x sin x d f x 2 設函式f x 若f a f 1 2，則a等於 a 3 b 3 c 1 d 1 3 函式f x log2 x g x x2 2，則f x g x ...
2023年高考數學 理 試題分類彙編 專題14選修4系列
2014年高考數學 理 試題分類彙編 選修4系列 15 2014 廣東卷 幾何證明選講選做題 如圖13所示，在平行四邊形abcd中，點e在ab上且eb 2ae，ac與de交於點f，則 圖1315 9 15 2014 湖北卷 選修41 幾何證明選講 如圖13，p為 o外一點，過p點作 o的兩條切線，切...
2023年高考數學 理 試題分類彙編 專題11概率
概率k1 隨事件的概率 20 2014 湖北卷 計畫在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水年入流量x 年入流量 一年內上游來水與庫區降水之和，單位 億立方公尺 都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低於80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，...