2023年普通高等學校招生全國統一考試
（湖北卷）
數學（理工農醫類）
一、選擇題：本次題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設, ,則
a. bcd.
2. 若非空集合滿足，且不是的子集，則
a. 「」是「」的充分條件但不是必要條件
b. 「」是「」的必要條件但不是充分條件
c. 「」是「」的充要條件
d. 「」既不是「」的充分條件也不是「」必要條件
3. 用與球心距離為的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為
abcd.
4. 函式的定義域為
ab.cd.
5.將函式的圖象f按向量平移得到圖象,若的一條對稱軸是直線,則的乙個可能取值是
abcd.
6.將5名志願者分配到3個不同的奧運場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志願者的方案種數為
a. 540b. 300c. 180d. 150
7.若上是減函式，則的取值範圍是
a. b. c. d.
8.已知,，若,則
abc． d．
9.過點作圓的弦，其中弦長為整數的共有
a. 16條 b. 17條 c. 32條 d. 34條
10.如圖所示，「嫦娥一號」探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點軌進入以月球球心為乙個焦點的橢圓軌道ⅰ繞月飛行，之後衛星在點第二次變軌進入仍以為乙個焦點的橢圓軌道ⅱ繞月飛行，最終衛星在點第三次變軌進入以為圓心的圓形軌道ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢軌道ⅰ和ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道ⅰ和ⅱ的長軸的長，給出下列式子：
其中正確式子的序號是
abcd. ②④
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡相應位置上.
11.設(其中表示z1的共軛複數)，已知z2的實部是，則z2的虛部為 .
12．在△中，三個角的對邊邊長分別為,則的值為
13.已知函式, ,其中,為常數，則方程的解集為
14.已知函式,等差數列的公差為.若,則
15.觀察下列等式：
可以推測，當≥2（）時
三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16.（本小題滿分12分）
已知函式
（ⅰ）將函式化簡成（，，）的形式；
（ⅱ）求函式的值域.
17.（本小題滿分12分）
袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上號的有個（=1,2,3,4）.現從袋中任取一球.表示所取球的標號.
（ⅰ）求的分布列，期望和方差；
（ⅱ）若, , ,試求a,b的值.
18.（本小題滿分12分）
如圖，在直三稜柱中，平面側面.
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關係，並予以證明.
19.（本小題滿分13分）
如圖，在以點為圓心，為直徑的半圓中，，是半圓弧上一點，
，曲線是滿足為定值的動點的軌跡，且曲線過點.
（ⅰ）建立適當的平面直角座標系，求曲線的方程；
（ⅱ）設過點的直線l與曲線相交於不同的兩點、.
若△的面積不小於，求直線斜率的取值範圍.
20.(本小題滿分12分)
水庫的蓄水量隨時間而變化，現用表示時間，以月為單位，年初為起點，根據歷年資料，某水庫的蓄水量（單位：億立方公尺）關於的近似函式關係式為
（ⅰ）該水庫的蓄求量小於50的時期稱為枯水期.以表示第1月份（）,同一年內哪幾個月份是枯水期？
（ⅱ）求一年內該水庫的最大蓄水量（取計算）.
21.(本小題滿分14分)
已知數列和滿足：,其中為實數，為正整數.
（ⅰ）對任意實數，證明數列不是等比數列；
（ⅱ）試判斷數列是否為等比數列，並證明你的結論；
（ⅲ）設,為數列的前項和.是否存在實數，使得對任意正整數，都有?若存在，求的取值範圍；若不存在，說明理由.
2023年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷）
數學（理工農醫類）試題參***
一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算.每小題5分，滿分50分.
二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分25分.
11.1 12. 13. 14.-6 15.，0
三、解答題：本大題共6小題，共75分.
16.本小題主要考查函式的定義域、值域和三角函式的性質等基本知識，考查三角恒等變換、代數式的化簡變形和運算能力.（滿分12分）
解：（ⅰ）
＝（ⅱ）由得
在上為減函式，在上為增函式，
又（當），
即故g(x)的值域為
17.本小題主要考查概率、隨機變數的分布列、期望和方差等概念，以及基本的運算能力.（滿分12分）
解：（ⅰ）的分布列為：
∴（ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以
當a=2時，由1＝2×1.5+b,得b=-2;
當a=-2時，由1＝-2×1.5+b，得b=4.
∴或即為所求.
18.本小題主要考查直稜柱、直線與平面所成角、二面角和線面關係等有關知識，同時考查空間想象能力和推理能力.（滿分12分）
（ⅰ）證明：如右圖，過點a在平面a1abb1內作
ad⊥a1b於d，則
由平面a1bc⊥側面a1abb1,且平面a1bc側面a1abb1=a1b,得
ad⊥平面a1bc,又bc平面a1bc，所以ad⊥bc.
因為三稜柱abc—a1b1c1是直三稜柱，則aa1⊥底面abc，
所以aa1⊥bc.
又aa1ad=a,從而bc⊥側面a1abb1，
又ab側面a1abb1，故ab⊥bc.
（ⅱ）解法1：連線cd，則由（ⅰ）知是直線ac與平面a1bc所成的角，
是二面角a1—bc—a的平面角，即
於是在rt△adc中，在rt△adb中，
由ab＜ac，得又所以
解法2：由（ⅰ）知，以點b為座標原點，以bc、ba、bb1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角座標系，設aa1=a,ac=b,
ab=c,則 b(0,0,0), a(0,c,0),於是
設平面a1bc的乙個法向量為n=(x,y,z)，則
由得可取n=(0,-a,c)，於是與n的夾角為銳角，則與互為餘角.
所以於是由c＜b，得
即又所以
19.本小題主要考查直線、圓和雙曲線等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡方程的求法、不等式的解法以及綜合解題能力.（滿分13分）
（ⅰ）解法1：以o為原點，ab、od所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角座標系，則a（-2，0），b（2，0），d(0,2),p（），依題意得
｜ma｜-｜mb｜=｜pa｜-｜pb｜＝＜｜ab｜＝4.
∴曲線c是以原點為中心，a、b為焦點的雙曲線.
設實平軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，
則c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.
∴曲線c的方程為.
解法2：同解法1建立平面直角座標系，則依題意可得
｜ma｜-｜mb｜=｜pa｜-｜pb｜＜｜ab｜＝4.
∴曲線c是以原點為中心，a、b為焦點的雙曲線.
設雙曲線的方程為＞0，b＞0）.
則由解得a2=b2=2,
∴曲線c的方程為
(ⅱ)解法1：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線c的方程並整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.
∵直線l與雙曲線c相交於不同的兩點e、f，
∴ ∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.
設e（x，y），f(x2,y2)，則由①式得x1+x2=,於是
｜ef｜＝
＝而原點o到直線l的距離d＝，
∴s△def=
若△oef面積不小於2,即s△oef，則有
③綜合②、③知，直線l的斜率的取值範圍為[-，-1]∪(1-,1) ∪(1,).
解法2：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線c的方程並整理，
得（1-k2）x2-4kx-6=0.
∵直線l與雙曲線c相交於不同的兩點e、f，
∴ .
∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.
設e(x1,y1),f(x2,y2),則由①式得
｜x1-x2
當e、f在同一去上時（如圖1所示），
s△oef＝
當e、f在不同支上時（如圖2所示）.
s△ode=
綜上得s△oef＝於是
由｜od｜＝2及③式，得s△oef=
若△oef面積不小於2
④綜合②、④知，直線l的斜率的取值範圍為[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）.
20.本小題主要考查函式、導數和不等式等基本知識，考查用導數求最值和綜合運用數學知識解決實際問題能力.（滿分12分）
解：（ⅰ）①當0＜t10時，v(t)=(-t2+14t-40)
化簡得t2-14t+40>0,
解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.
②當10＜t12時，v（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50,
化簡得（t-10）（3t-41）＜0,
解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.
綜合得0故知枯水期為1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6個月.
(ⅱ)(ⅰ)知：v(t)的最大值只能在（4，10）內達到.
由v′（t）=
令v′(t)=0,解得t=8(t=-2捨去).
當t變化時，v′(t) 與v (t)的變化情況如下表：
由上表，v(t)在t＝8時取得最大值v(8)＝8e2+50-108.52(億立方公尺).
故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方公尺
21.本小題主要考查等比數列的定義、數列求和、不等式等基礎知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理認證能力，（滿分14分）
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數學 理科 試卷 第 卷 選擇題共60分 1 選擇題 本題共12小題，每小題5分，共60分 在每小題給出的四個選項中只有乙個選項是符合題目要求的 1 已知r為全集，則 a b c 是以為首項，以2為公比的等比數列，5分 2 由可得6分 7分兩式相減得9分 11分 所以12分 20 解 由條件可得轉盤...
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