2023年全國卷ⅱ理科數學試題解析
河北望都中學湯敏軍
一選擇題：
1. a. b. c. d.
解：原式.故選a.
2. 設集合，則=
a. b. c. d.
解：..故選b.
3. 已知中，， 則
a. b. c. d.
解：已知中，，.
故選d.
4.曲線在點處的切線方程為w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
a. b. c. d.
解：,故切線方程為,即故選b.
5. 已知正四稜柱中， 為中點，則異面直線與所成的角的余弦值為
a. b. c. d.
解：令則,連∥異面直線與所成的角即
與所成的角。在中由餘弦定理易得。故選c
6. 已知向量，則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
a. b. c. d.
解： 。故選c
7. 設，則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
a. b. c. d.
解： .故選a.
8. 若將函式的影象向右平移個單位長度後，與函式的影象重合，則的最小值為
a． b. c. d.
解： ，
又.故選d
9. 已知直線與拋物線相交於兩點，為的焦點，若，則
a. b. c. d.
解：設拋物線的準線為直線恆過定點p .如圖過分別作於,於, 由,則,點b為ap的中點.鏈結,則, 點的橫座標為, 故點的座標為, 故選d
10. 甲、乙兩人從4門課程中各選修2門。則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有
a. 6種 b. 12種 c. 30種 d. 36種
解：用間接法即可.種. 故選c
11. 已知雙曲線的右焦點為,過且斜率為的直線交於兩點，若,則的離心率為w.w.w.k.s.5.u.c.o.
m a． b. c. d.
解：設雙曲線的右準線為,過分別作於,於, ,由直線ab的斜率為,知直線ab的傾斜角為,
由雙曲線的第二定義有.
又故選a
12.紙製的正方體的六個面根據其方位分別標記為上、下、東、南、西、北。現有沿該正方體的一些稜將正方體剪開、外面朝上展平，得到右側的平面圖形，則標「」的面的方位是
a. 南 b. 北
c. 西 d. 下
解：展、折問題。易判斷選b
第ii卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡上。
13.的展開式中的係數為 6
解：，只需求展開式中的含項的係數： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
14. 設等差數列的前項和為，若則 9 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解：為等差數列，
15.設是球的半徑，是的中點，過且與成45°角的平面截球的表面得到圓。若圓的面積等於，則球的表面積等於.
解：設球半徑為，圓的半徑為，
因為。由得.故球的表面積等於.
16. 已知為圓:的兩條相互垂直的弦，垂足為,則四邊形的面積的最大值為
解：設圓心到的距離分別為,則.
四邊形的面積
三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
17（本小題滿分10分）
設的內角、、的對邊長分別為、、，，，求。
分析：由，易想到先將代入得。然後利用兩角和與差的余弦公式展開得；又由，利用正弦定理進行邊角互化，得，進而得.
故。大部分考生做到這裡忽略了檢驗，事實上，當時，由，進而得，矛盾，應捨去。
也可利用若則從而捨去。不過這種方法學生不易想到。
評析：本小題考生得分易，但得滿分難。
18（本小題滿分12分）
如圖，直三稜柱中，、分別為、的中點，平面w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（i）證明：
（ii）設二面角為60°，求與平面所成的角的大小。
（i）分析一：鏈結be，為直三稜柱，
為的中點，。又平面，
（射影相等的兩條斜線段相等）而平面，
（相等的斜線段的射影相等）。
分析二：取的中點，證四邊形為平行四邊形，進而證∥，，得也可。
分析三：利用空間向量的方法。具體解法略。
（ii）分析一：求與平面所成的線面角，只需求點到面的距離即可。
作於，連，則，為二面角的平面角，.不妨設，則.在中，由，易得.
設點到面的距離為，與平面所成的角為。利用，可求得，又可求得
即與平面所成的角為
分析二：作出與平面所成的角再行求解。如圖可證得，所以面。由分析一易知：四邊形為正方形，連，並設交點為，則，為在麵內的射影。。以下略。
分析三：利用空間向量的方法求出面的法向量，則與平面所成的角即為與法向量的夾角的餘角。具體解法詳見高考試題參***。
總之在目前，立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統方法與向量的方法仍處於各自半壁江山的狀況。命題人在這裡一定會兼顧雙方的利益。
19（本小題滿分12分）
設數列的前項和為已知
（i）設，證明數列是等比數列
（ii）求數列的通項公式。
解：（i）由及，有
由，．．．① 則當時，有．．．．．②
②－①得
又， 是首項，公比為２的等比數列．
（ii）由（i）可得，
數列是首項為，公差為的等比數列．
，評析：第（i）問思路明確，只需利用已知條件尋找．
第（ii）問中由（i）易得，這個遞推式明顯是乙個構造新數列的模型：，主要的處理手段是兩邊除以．
總體來說，09年高考理科數學全國i、ⅱ這兩套試題都將數列題前置,主要考查構造新數列（全國i還考查了利用錯位相減法求前n項和的方法），一改往年的將數列結合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。
20（本小題滿分12分）
某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現採用分層抽樣方法（層內採用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術考核。
（i）求從甲、乙兩組各抽取的人數；
（ii）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（iii）記表示抽取的3名工人中男工人數，求的分布列及數學期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
分析：（i）這一問較簡單，關鍵是把握題意，理解分層抽樣的原理即可。另外要注意此分層抽樣與性別無關。
（ii）在第一問的基礎上，這一問處理起來也並不困難。
從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率
（iii）的可能取值為0，1，2，3
，，，分布列及期望略。
評析：本題較常規，比08年的概率統計題要容易。在計算時，採用分類的方法，用直接法也可，但較繁瑣，考生應增強靈活變通的能力。
（21）（本小題滿分12分）
已知橢圓的離心率為，過右焦點f的直線與相交於、兩點，當的斜率為1時，座標原點到的距離為w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（i）求，的值；
（ii）上是否存在點p，使得當繞f轉到某一位置時，有成立？
若存在，求出所有的p的座標與的方程；若不存在，說明理由。
解:(i）設，直線，由座標原點到的距離為
則，解得.又.
（ii）由(i）知橢圓的方程為.設、
由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設
代入橢圓的方程中整理得，顯然。
由韋達定理有
.假設存在點p，使成立，則其充要條件為：
點，點p在橢圓上，即。
整理得。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又在橢圓上，即.
故將及①代入②解得
,=,即.
當;當.
評析：處理解析幾何題，學生主要是在「算」上的功夫不夠。所謂「算」，主要講的是算理和演算法。
演算法是解決問題採用的計算的方法,而算理是採用這種演算法的依據和原因,乙個是表,乙個是裡,乙個是現象,乙個是本質。有時候算理和演算法並不是截然區分的。例如：
三角形的面積是用底乘高的一半還是用兩邊與夾角的正弦的一半，還是分割成幾部分來算？在具體處理的時候，要根據具體問題及題意邊做邊調整，尋找合適的突破口和切入點。
22.(本小題滿分12分)
設函式有兩個極值點，且
（i）求的取值範圍，並討論的單調性；
（ii）證明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解: （i）
令，其對稱軸為。由題意知是方程的兩個均大於的不相等的實根，其充要條件為，得
⑴當時，在內為增函式；
⑵當時，在內為減函式；
⑶當時，在內為增函式；
（ii）由（i）， 設，則
⑴當時，在單調遞增；
⑵當時，，在單調遞減。
故．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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