絕密★啟用前
2023年普通高等學校招生全國統一考試(重慶卷)
數學試題卷（理工農醫類）
數學試題卷(理工農醫類)共5頁。滿分150分。考試時間120分鐘。
注意事項：
1.答題前，務必將自己的姓名、准考證號填寫在答題卡規定的位置上。
2.答選擇題時，必須使用2b鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號塗黑。如需改動，用橡皮擦擦乾淨後，再選塗其他答案標號。
3.答非選擇題時，必須使用0.5公釐黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上。
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。
5.考試結束後，將試題卷和答題卡一併交回。
參考公式：
如果事件a、b互斥，那麼 p(a+b)=p(a)+p(b
如果事件a、b相互獨立，那麼p(a·b)=p(a)·p(b
如果事件a在一次試驗中發生的概率是p，那麼n次獨立重複試驗中恰好發生k次的概率
pn(k)=kmpk(1-p)n-k
以r為半徑的球的體積v=πr3.
一、 選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的.
（1）複數1+=
(a)1+2ib)1-2ic)-1d)3
(2)設m,n是整數，則「m,n均為偶數」是「m+n是偶數」的
(a)充分而不必要條件b)必要而不充分條件
(c)充要條件d)既不充分也不必要條件
(3)圓o1:x2+y2-2x=0和圓o2:x2+y2-4y=0的位置關係是
(a)相離b)相交c)外切d)內切
(4)已知函式y=的最大值為m,最小值為m,則的值為
(abcd)
(5)已知隨機變數服從正態分佈n(3,a2),則p(＝
(abcd)
(6)若定義在r上的函式f(x)滿足：對任意x1,x2r有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,則下列說法一定正確的是
(a)f(x)為奇函式b）f(x)為偶函式
(c) f(x)+1為奇函式d）f(x)+1為偶函式
(7)若過兩點p1(-1,2),p2(5,6)的直線與x軸相交於點p，則點p分有向線段所成的比的值為
(abcd)
(8)已知雙曲線（a＞0,b＞0）的一條漸近線為y=kx(k＞0),離心率e=,則雙曲線方程為
（a）－=1b)
(cd)
(9)如解（9）圖，體積為v的大球內有4個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有乙個交點，4個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個頂點.v1為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，v2為大球內、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關係中正確的是
（a）v1b) v2=
（c）v1> v2d）v1< v2
(10)函式f(x)= () 的值域是
（ab)[-1,0] （cd）[-]
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分，把答案填寫在答題卡相應位置上
（11）設集合u=,a=,b=,c=,則(ab
（12）已知函式，在點在x=0處連續，則 .
(13)已知(a>0) ，則 .
(14)設是等差數列的前n項和，,則
（15）直線l與圓(a<3)相交於兩點a，b，弦ab的中點為（0，1），則直線l的方程為 .
(16)某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如題（16）圖所示的6個點a、b、c、a1、b1、c1上各裝乙個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用乙個的安裝方法共有種（用數字作答）.
三、解答題：本大題共6小題，共76分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（17）（本小題滿分13分，（ⅰ）小問6分，（ⅱ）小問7分）
設的內角a，b，c的對邊分別為a,b,c，且a=，c=3b.求：
（ⅰ）的值；
（ⅱ）cotb+cot c的值.
（18）（本小題滿分13分，（ⅰ）小問5分，（ⅱ）小問8分.）
甲、乙、丙三人按下面的規則進行桌球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以後每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止.
設在每局中參賽者勝負的概率均為，且各局勝負相互獨立.求：
（ⅰ） 打滿3局比賽還未停止的概率；
（ⅱ）比賽停止時已打局數的分別列與期望e.
（19）（本小題滿分13分，（ⅰ）小問6分，（ⅱ）小問7分.）
如題（19）圖，在中，b=,ac=,d、e兩點分別在ab、ac上.使
,de=3.現將沿de折成直二角角，求：
（ⅰ）異面直線ad與bc的距離；
（ⅱ）二面角a-ec-b的大小（用反三角函式表示）.
（20）（本小題滿分13分.（ⅰ）小問5分.（ⅱ）小問8分.）
設函式曲線y=f(x)通過點（0，），且在點處的切線垂直於y軸.
（ⅰ）用a分別表示b和c；
（ⅱ）當bc取得最小值時，求函式的單調區間.
（21）（本小題滿分12分，（ⅰ）小問5分，（ⅱ）小問7分.）
如圖（21）圖，m（-2，0）和n（2，0）是平面上的兩點，動點p滿足：
（ⅰ）求點p的軌跡方程；
（ⅱ）若,求點p的座標.
（22）（本小題滿分12分，（ⅰ）小問5分，（ⅱ）小問7分.）
設各項均為正數的數列滿足.
（ⅰ）若，求，並猜想的值（不需證明）；
（ⅱ）記對n≥2恆成立，求a2的值及數列的通項公式.
2023年普通高等學校招生全國統一考試（重慶卷）
數學試題（理工農醫類）答案
一、選擇題：每小題5分，滿分50分.
（1）a 解析：本題考查複數的概念與運算。1+=1+
（2）a 解析：均為偶數是偶數則充分； 是偶數則均為偶數或者均為奇數即是偶數均為偶數則不必要，故選a
（3）b 解析：本題考查圓的一般方程與標準方程以及兩圓位置關係。
（4）c 解析：本題考查均值不等式。定義域 ，當且僅當即上式取等號，故最大值為最小值為
（5）d 解析：本題考查正態分佈的意義和主要性質。服從正態分佈n(3,a2) 則曲線關於對稱，
（6）c 解析：本題考查函式性質。則令則，所以即
（7）a 解析：本題考查線段定比分點。設則
（8）c 解析：本題考查雙曲線的幾何性質。
，， 所以
（9）d 解析：設大球半徑為，小球半徑為根據題意所以於是即所以
（10）b
解析：特殊值法，則f(x)= 排除a，
令得當時時所以矛盾排除c， d
二、填空題：每小題4分，滿分24分.
（11）
（12） 解析： 又點在x=0處連續，
所以即故
（13）3 解析：
（14）-72 解析：，
（15）x-y+1=0 解析：設圓心，直線的斜率為， 弦ab的中點為，的斜率為，則，所以由點斜式得
（16）216 解析：則底面共，；
，由分類計數原理得上底面共，由分步類計數原理得共有
三、解答題：滿分76分.
（17）（本小題13分）
解：（ⅰ）由餘弦定理得＝故
（ⅱ）解法一：
＝＝由正弦定理和（ⅰ）的結論得
故解法二：由餘弦定理及（ⅰ）的結論有
＝故同理可得
從而（18）（本小題13分）
解：令分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝.
（ⅰ）由獨立事件同時發生與互斥事件至少有乙個發生的概率公式知，打滿3局比
賽還未停止的概率為
（ⅱ）的所有可能值為2，3，4，5，6，且
故有分布列
從而（局）.
（19）（本小題13分）
解法一：
（ⅰ）在答（19）圖1中，因，故be∥bc.又因b＝90°，從而
ad⊥de.
在第（19）圖2中，因a-de-b是直二面角，ad⊥de,故ad⊥底面dbce，從
而ad⊥db.而db⊥bc,故db為異面直線ad與bc的公垂線.
下求db之長.在答（19）圖1中，由，得
又已知de=3,從而
因（ⅱ）在第（19）圖2中，過d作df⊥ce,交ce的延長線於f，連線af.由（1）知，
ad⊥底面dbce,由三垂線定理知af⊥fc,故∠afd為二面角a-bc-b的平面
角.在底面dbce中，∠def=∠bce,
因此從而在rt△dfe中，de=3,
在因此所求二面角a-ec-b的大小為arctan
解法二：
（ⅰ）同解法一.
（ⅱ）如答（19）圖3.由（ⅰ）知，以d點為座標原點，的方向為x、
y、z軸的正方向建立空間直角座標系，則d（0，0，0），a（0，0，4），
，e（0，3，0）.
過d作df⊥ce,交ce的延長線
於f，連線af.
設從而 ，有
又由 ②
聯立①、②，解得
因為,故,又因,所以為所求的二面角a-ec-b的平面角.因有所以
因此所求二面角a-ec-b的大小為
(20)（本小題13分）
解：(ⅰ)因為
又因為曲線通過點（0，2a+3）,
故又曲線在（-1，f(-1)）處的切線垂直於y軸，故
即-2a+b=0,因此b=2a.
(ⅱ)由(ⅰ)得
故當時，取得最小值-.
此時有從而所以令，解得
當 當
當由此可見，函式的單調遞減區間為（-∞，-2）和（2，+∞）；單調遞增區間為（-2，2）.
(21)（本小題12分）
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