摘要隨著城市經濟的快速發展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環境質量的影響日顯突出。因此，對城市表層土壤重金屬汙染的研究有著重要的理論價值和意義。
針對問題一，首先利用取樣點的資料以及曲面插值的方法得到8種主要重金屬元素在該城區的空間分布圖；其次，利用單因子指數法和內梅羅綜合指數法建立城市表層土壤重金屬汙染程度評價模型，來定量地來評價重金屬的汙染程度；最後得到各區域汙染程度由大到小依次為：工業區、交通區、生活區、公園綠地區、山區。
針對問題二，首先對各重金屬元素進行相關性分析，然後在基於主成分分析法的基礎上建立主成分分析模型，最後分析得出城區表層土壤重金屬的汙染主要**為工業上的「三廢」排放，道路交通上的汽車尾氣的排放，汽車輪胎磨損產生的含鋅粉塵，農業上的農藥化肥過度使用以及生活汙水排放等。
針對問題三，首先通過資料分析，考慮到8種重金屬汙染源是向四周逐漸擴散的，因此可以建立高斯擴散模型。其次通過非線性逐步回歸分析求出模型中的引數，得到8種重金屬汙染物濃度的函式方程，即汙染源的傳播模型，最後利用導數法求得極大值點，得到八種重金屬的汙染源位置，如表七所示。
針對問題四，首先對問題三中模型的優缺點進行分析，然後根據分析的缺點，收集相關資訊，對問題三中的模型進行修改，建立任意時刻相應的重金屬濃度**模型，研究城市地質環境的演變模式。
關鍵詞：曲面插值單因子指數內梅羅綜合指數主成分分析
高斯擴散非線性逐步回歸分析
一、 問題重述
隨著城市經濟的快速發展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環境質量的影響日顯突出。對城市土壤地質環境異常的查證，以及如何應用查證獲得的海量資料資料開展城市環境質量評價，研究人類活動影響下城市地質環境的演變模式，日益成為人們關注的焦點。
按照功能劃分，城區一般可分為生活區、工業區、山區、主幹道路區及公園綠地區等，分別記為1類區、2類區、……、5類區，不同的區域環境受人類活動影響的程度不同。
現對某城市城區土壤地質環境進行調查。為此，將所考察的城區劃分為間距1公里左右的網格子區域，按照每平方公里1個取樣點對表層土（0~10 厘公尺深度）進行取樣、編號，並用gps記錄取樣點的位置。應用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學元素的濃度資料。
另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業活動的自然區取樣，將其作為該城區表層土壤中元素的背景值。
附件1列出了取樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區等資訊，附件2列出了8種主要重金屬元素在取樣點處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。
現要求你們通過數學建模來完成以下任務：
(1) 給出8種主要重金屬元素在該城區的空間分布，並分析該城區內不同區域重金屬的汙染程度。
(2) 通過資料分析，說明重金屬汙染的主要原因。
(3) 分析重金屬汙染物的傳播特徵，由此建立模型，確定汙染源的位置。
(4) 分析你所建立模型的優缺點，為更好地研究城市地質環境的演變模式，還應收集什麼資訊？有了這些資訊，如何建立模型解決問題？
二、 問題分析
對於問題一，首先採用三次有理插值樣條曲面插值方法對題中所給資料進行資料預處理，得到各個元素未知點的濃度，然後運用matlab中的griddata函式畫出8種主要重金屬元素的空間分布圖；最後利用單因子指數法和內梅羅綜合指數法得到各個區域中各個重金屬元素的汙染程度。
對於問題二，首先對各個重金屬元素進行相關性分析，確定哪些重金屬元素汙染屬於同一**，然後在基於主成分分析法的基礎上，聯絡對比8種重金屬元素濃度的分布圖，並查詢相關資料確定出城區表層土壤重金屬的汙染主要**。
對於問題三，首先通過資料分析得到，各種重金屬在汙染源地產生後，汙染源是向四周逐漸擴散的，並且影響到其它功能區的環境，因此可以建立高斯擴散模型。其次通過非線性逐步回歸分析求出模型中的引數，得到8種重金屬汙染物濃度高斯擴散模型的函式，即汙染源的傳播模型，最後利用導數法求得極大值點，得到八種重金屬的汙染源空間位置。
對於問題四，首先對問題三中模型的優缺點進行分析；其次收集不同時間內的樣點對應的基本資訊以及各汙染源重金屬的產生率；最後對問題三中的模型進行改進，建立高斯濃度分布模型，用以研究城市地質環境演變模式。
三、 模型假設
1. 假設題目所給的資料真實可靠；
2. 假設城區的人口流動量是穩定的；
3. 假設各元素在土壤中的遷移速率是恆定不變且遷移方向為濃度高的地方指向濃度低的地方；
4. 假設由兩個及兩個以上的汙染源造成汙染的地區的交叉處與單一汙染源造成的情況同樣處理；
四、 符號說明
五、 模型建立與求解
5.1.問題一
5.1.1資料預處理
考慮到取樣的誤差，首先剔除附件2資料中異常值，為了得到完整的重金屬濃度分布圖，採用三次有理插值樣條曲面插值法得到未知點的濃度，從而用matlab軟體畫出各重金屬濃度的城區空間分布圖。
5.1.2模型的建立
（一）重金屬的空間分布
首先，利用附件資料在excel中做出取樣點的分布圖，如圖1所示：
圖1 取樣點分布圖
其次，（具體程式見附錄2），下面以重金屬元素as和cd的影象為例，如圖2，圖3所示，其它重金屬的空間分布圖如附錄1所示：
圖2 重金屬元素as的空間分布圖
圖3重金屬元素cd的空間分布圖
在圖中，箭頭所指的位置重金屬元素的濃度較高，即汙染區域；最右邊的顏色條表示重金屬元素的濃度高低，從下往上濃度增大，即偏向紅色的濃度越高，偏向藍色的濃度越低。。
（二）單因子汙染指數模型
要確定城市不同區域的重金屬汙染程度，首先必須得到各個取樣點每種重金屬元素的汙染程度，因此要用單因子汙染指數法，該方法是通用的一種重金屬汙染程度的評價方法，其計算公式為：
1-1）
其中， —土壤中元素的汙染指數；
—重金屬的種類；
—重金屬元素的實測濃度（本文用每個地區的各元素的平均值表示）；
—城市土壤重金屬的環境背景值。
根據夏家淇的土壤重金屬汙染等級劃分和土壤環境監測技術規範，確定土壤重金屬汙染評價的分級標準，如表一所示：
表一單因子汙染指數法分級標準
（三）內梅羅綜合汙染指數模型
單因子汙染指數法只能分別反映各個重金屬的汙染程度，不能全面、綜合第反映土壤的汙染程度，因此當對不同區域重金屬汙染程度進行整體評價時，需要將單因子汙染指數按一定方法綜合起來，即應用綜合汙染指數法評價。對於不同取樣點來說，不同重金屬的汙染程度不盡相同，但汙染程度最大的重金屬起著決定的作用，當然，其他元素對綜合汙染程度也有影響。為此，我們採用常用的評價汙染程度的內梅羅綜合汙染指數法，通過其計算式可以評價不同土地型別的土壤受到重金屬汙染的強度。
其計算公式為：
1-2）
其中， —內梅羅綜合汙染指數；
土壤中元素的汙染指數；
—所有重金屬原始汙染指數的最大值；
重金屬的種類。
5.1.3模型的求解
將各個區域取樣點的不同重金屬的汙染程度進行平均，得到各個區域重金屬的汙染程度如表二所示：
表二重金屬元素在各功能區的平均汙染指數
結合表一、表二可知，生活區、工業區、山區、交通區、公園綠地區都屬於輕度汙染及以上，即所有區域重金屬的濃度均超過了自然區域重金屬的濃度，造成了重金屬汙染。除了山區外各區域的重金屬汙染都很顯著，許多達到了中度汙染，甚至嚴重汙染的程度。
利用公式（2）可以得到各區域的綜合汙染指數，如表三所示：
表三各功能區綜合汙染指數
由表三可以看出，各功能區均受到不同程度的汙染。其中，工業區的汙染最為嚴重，其次是交通區，再次是生活區，都達到了嚴重汙染的程度。山區相對汙染情況較小，但也達到了輕度汙染程度，而公園綠地區這個人們休閒的地方也達到了中度汙染的程度。
即汙染程度由大到小依次為：工業區、交通區、生活區、公園綠地區、山區。
5.2問題二
5.2.1模型的建立
根據問題一的結果，可以得知各功能區均受到不同程度的汙染，且汙染程度由大到小依次為：工業區、交通區、生活區、公園綠地區、山區。依據附件中的資料，計算出該城區各個區域土壤重金屬平均含量，與土壤背景值進行比較，如圖4所示：
圖4 8種主要重金屬元素在功能區的平均含量
從圖中可以看出，除as 以外，cd、cu、ni、pb、zn、hg和cr 平均含量均高於當地土壤背景值，而hg、cd和zn含量明顯超標。其中，工業區和交通區表層土壤重金屬含量較大，公園綠地區和生活區含量較小，而山區的重金屬含量最少。
由於區域各樣點間的汙染在不同區域存在著很大的差異性，因此可採用主成分分析法來判別土壤中重金屬的**。
（一）主成分分析模型
主成分分析是利用降維的思想，將多個變數轉化為少數幾個綜合變數，即用較少的變數來代替和綜合反映原來較多的資訊，這些綜合後的變數就是原來多變數的主成分。
假設各主成分為， as、 cd、cr、cu、hg、ni、pb、zn的濃度含量分別表示為，則根據題意有：
（2-1）
其中， —第個主成分
—主成分係數
（二）主成分分析法基本步驟
step1：將所有指標資料進行標準化，得到標準化矩陣；
2-2）
城市表層土壤重金屬汙染分析
2011高教社杯全國大學生數學建模競賽 承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則.我們完全明白，在競賽開始後參賽隊員不能以任何方式 包括 電子郵件 網上諮詢等 與隊外的任何人 包括指導教師 研究 討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的,如果引用別人的成果或其他公開...
土壤重金屬汙染
據報道，目前我國受鎘 砷 鉻 鉛等重金屬汙染耕地面積近 2000 萬公頃，約佔總耕地面積的 1 5，其中工業 三廢 汙染耕地 1000 萬公頃，汙水灌溉的農田面積已達 330 多萬公頃。例如 某省曾對 47 個縣和郊區的 259 萬公頃耕地 佔全省耕地面積的五分之二 進行過調查。其結果表明，75 的...
重金屬汙染土壤修復現狀
重金屬汙染土壤修復技術及其修復實踐 黃益宗 綜述了近年來國內外有關重金屬汙染土壤修復技術的研究進展，包括物理 化學修復技術 客土 換土 去表土 深耕翻土法，土壤淋洗，熱解吸法，玻璃化技術，電動修復，固化 穩定化，離子拮抗技術 生物修復技術 植物修復技術，微生物修復技術 和農業生態修復技術 控制土壤水...