理科數學
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有乙個是符合題目要求的.
1.集合，z為整數集，則中元素的個數是
（a）3 （b）4 （c）5 （d）6
【答案】c
【解析】
試題分析：由題意，，故其中的元素個數為5，選c.
考點：集合中交集的運算.
【名師點睛】集合的概念及運算一直是高考的熱點，幾乎是每年必考內容，屬於容易題.一般是結合不等式，函式的定義域值域考查，解題的關鍵是結合韋恩圖或數軸解答.
2. 設i為虛數單位，則的展開式中含x4的項為
（a）－15x4 （b）15x4 （c）－20i x4 （d）20i x4
【答案】a
考點：二項展開式，複數的運算.
【名師點睛】本題考查二項式定理及複數的運算，複數的概念及運算也是高考的熱點，幾乎是每年必考內容，屬於容易題.一般來說，掌握複數的基本概念及四則運算即可．二項式的展開式可以改為，則其通項為，即含的項為．
3. 為了得到函式的圖象，只需把函式的圖象上所有的點
（a）向左平行移動個單位長度 （b）向右平行移動個單位長度
（c）向左平行移動個單位長度 （d）向右平行移動個單位長度
【答案】d
【解析】
試題分析：由題意，為了得到函式，只需把函式的影象上所有點向右移個單位，故選d.
考點：三角函式影象的平移.
【名師點睛】本題考查三角函式的圖象平移，在函式的圖象平移變換中要注意人「」的影響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個單位得，再把橫座標變為原來的倍，縱座標不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫座標變為原來的倍，縱座標不變，得的圖象，向左平移個單位得的圖象．
4. 用數字1，2，3，4，5組成沒有重複數字的五位數，其中奇數的個數為
（a）24 （b）48 （c）60 （d）72
【答案】d
考點：排列、組合
【名師點睛】利用排列組合計數時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏，分步時要注意整個事件的完成步驟．在本題中，個位是特殊位置，第一步應先安排這個位置，第二步再安排其他四個位置．.
5. 某公司為激勵創新，計畫逐年加大研發資金投入.若該公司2023年全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是
（參考資料：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）
（ a）2023年 （b）2023年 （c）2023年 （d）2023年
【答案】b
【解析】
試題分析：設第年的研發投資資金為，，則，由題意，需
，解得，故從2023年該公司全年的投入的研發資金超過200萬，選b.
考點：等比數列的應用.
【名師點睛】本題考查等比數列的實際應用．在實際問題中平均增長率問題可以看作是等比數列的應用，解題時要注意把哪個作為數列的首項，然後根據等比數列的通項公式寫出通項，列出不等式或方程就可解得結論．
6. 秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州（現四川省安岳縣）人，他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦九韶演算法，至今仍是比較先進的演算法.如圖所示的程式框圖給出了利用秦九韶演算法求某多項式值的乙個例項，若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為
（a）9 （b）18 （c）20 （d）35
【答案】b
考點：1.程式與框圖；2.秦九韶演算法；3.中國古代數學史.
【名師點睛】程式框圖是高考的熱點之一，幾乎是每年必考內容，多半是考迴圈結構，基本方法是將每次迴圈的結果一一枚舉出來，與判斷條件比較即可．
7. 設p：實數x，y滿足，q：實數x，y滿足則p是q的
（a）必要不充分條件 （b）充分不必要條件 （c）充要條件 （d）既不充分也不必要條件
【答案】a
考點：1.充分條件、必要條件的判斷；2.線性規劃.
【名師點睛】本題考查充分性與必要性的判斷問題，首先是分清條件和結論，然後考察條件推結論，結論推條件是否成立.這類問題往往與函式、三角、不等式等數學知識結合起來考，本題條件與結論可以轉化為平面區域的關係，利用充分性、必要性和集合的包含關係得結論．
8. 設o為座標原點，p是以f為焦點的拋物線上任意一點，m是線段pf上的點，且=2,則直線om的斜率的最大值為
（a） （b） （cd）1
【答案】c
【解析】
試題分析：設（不妨設），則由已知得，，，，，故選c.
考點：拋物線的簡單的幾何性質，基本不等式的應用．
【名師點睛】本題考查拋物線的性質，結合題意要求，利用拋物線的引數方程表示出拋物線上點的座標，利用向量法求出點的座標，是我們求點座標的常用方法，由於要求最大值，因此我們把斜率用引數表示出後，可根據表示式形式選用函式，或不等式的知識求出最值，本題採用基本不等式求出最值．
9. 設直線l1，l2分別是函式f(x)=圖象上點p1，p2處的切線，l1與l2垂直相交於點p，且l1，l2分別與y軸相交於點a，b，則△pab的面積的取值範圍是
（a）(0,1) （b）(0,2) （c）(0,+∞) （d）(1,+∞)
【答案】a
考點：1.導數的幾何意義；2.兩直線垂直關係；3.直線方程的應用；4.三角形面積取值範圍.
【名師點睛】本題首先考查導數的幾何意義，其次考查最值問題，解題時可設出切點座標，利用切線垂直求出這兩點的關係，同時得出切線方程，從而得點座標，由兩直線相交得出點座標，從而求得面積，題中把面積用表示後，可得它的取值範圍．解決本題可以是根據題意按部就班一步一步解得結論．這也是我們解決問題的一種基本方法，樸實而基礎，簡單而實用．
10. 在平面內，定點a，b，c，d滿足==,===-2，動點p，m滿足=1， =，則的最大值是
（a） （bcd）
【答案】b
【解析】
考點：1.向量的數量積運算；2.向量的夾角；3.解析幾何中與圓有關的最值問題.
【名師點睛】本題考查平面向量的數量積與向量的模，由於結論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用乙個引數表示出來，解題時首先對條件進行化簡變形，本題中得出，且，因此我們採用解析法，即建立直角座標系，寫出座標，同時動點的軌跡是圓，，因此可用圓的性質得出最值．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
11【答案】
【解析】
試題分析：由二倍角公式得
考點：三角函式二倍角公式．
【名師點睛】這是乙個來自於課本的題，直接利用課本公式解題，這告訴我們一定要立足於課本．有許多三角函式的求值問題一般都是通過三角函式的公式把函式化為特殊角的三角函式值而求解．
12. 同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數x的均值是
【答案】
考點：離散型隨機變數的均值
【名師點睛】本題考查隨機變數的均值（期望），根據期望公式，首先求出隨機變數的所有可能取值，再求得對應的概率，則均值為．
13. 已知三稜錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三稜錐的正檢視如圖所示，則該三稜錐的體積是
【答案】
【解析】
試題分析：由三稜錐的正檢視知，三稜錐的高為，底面邊長為，2,2，則底面等腰三角形的頂角為，所以三稜錐的體積為.
考點：三檢視，幾何體的體積.
【名師點睛】本題考查三檢視，考查幾何體體積，考查學生的識圖能力．解題時要求我們根據三檢視想象出幾何體的形狀，由三檢視得出幾何體的尺寸，為此我們必須掌握基本幾何體（柱、錐、臺、球）的三檢視以及各種組合體的三檢視．
14. 已知函式是定義在r上的週期為2的奇函式，當0＜x＜1時，，則
【答案】-2
考點：函式的奇偶性和週期性.
【名師點睛】本題考查函式的奇偶性，週期性，屬於基本題，在求值時，只要把和，利用奇偶性與週期性化為上的函式值即可．
15． 在平面直角座標系中，當p(x，y)不是原點時，定義p的「伴隨點」為；
當p是原點時，定義p的「伴隨點」為它自身，平面曲線c上所有點的「伴隨點」所構成的曲線定義為曲線c的「伴隨曲線」.現有下列命題：
若點a的「伴隨點」是點，則點的「伴隨點」是點a
單位圓的「伴隨曲線」是它自身；
若曲線c關於x軸對稱，則其「伴隨曲線」關於y軸對稱；
一條直線的「伴隨曲線」是一條直線.
其中的真命題是寫出所有真命題的序列）.
【答案】②③
考點：對新定義的理解、函式的對稱性.
【名師點睛】本題考查新定義問題，屬於創新題，符合新高考的走向．它考查學生的閱讀理解能力，接受新思維的能力，考查學生分析問題與解決問題的能力，新定義的概念實質上只是乙個載體，解決新問題時，只要通過這個載體把問題轉化為我們已經熟悉的知識即可．本題新概念「伴隨」實質是乙個變換，乙個座標變換，只要根據這個變換得出新的點的座標，然後判斷，問題就得以解決．
三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16. （本小題滿分12分）
我國是世界上嚴重缺水的國家，某市**為了鼓勵居民節約用水，計畫調整居民生活用水收費方案，擬確定乙個合理的月用水量標準（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將資料按照[0,0.
5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9組，製成了如圖所示的頻率分布直方圖.
（i）求直方圖中a的值；
（）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低於3噸的人數，並說明理由；
（）若該市**希望使85%的居民每月的用水量不超過標準（噸），估計的值，並說明理由.
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