2023年普通高等學校招生全國統一考試(四川卷)
數學(理工類)
第一部分 (選擇題共60分)
注意事項:
1、選擇題必須使用2b鉛筆將答案標號塗在機讀卡上對應題目標號的位置上。
2、本部分共12小題,每小題5分,共60分。
一、選擇題:每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1、的展開式中的係數是( )
abcd、
2、複數( )
abcd、
3、函式在處的極限是( )
a、不存在b、等於c、等於d、等於
4、如圖,正方形的邊長為,延長至,使,連線、則( )
abcd、
5、函式的圖象可能是( )
6、下列命題正確的是( )
a、若兩條直線和同乙個平面所成的角相等,則這兩條直線平行
b、若乙個平面內有三個點到另乙個平面的距離相等,則這兩個平面平行
c、若一條直線平行於兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行
d、若兩個平面都垂直於第三個平面,則這兩個平面平行
7、設、都是非零向量,下列四個條件中,使成立的充分條件是( )
abcd、且
8、已知拋物線關於軸對稱,它的頂點在座標原點,並且經過點。若點到該拋物線焦點的距離為,則( )
abcd、
9、某公司生產甲、乙兩種桶裝產品。已知生產甲產品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生產乙產品1桶需耗原料2千克,原料1千克。每桶甲產品的利潤是300元,每桶乙產品的利潤是400元。
公司在生產這兩種產品的計畫中,要求每天消耗、原料都不超過12千克。通過合理安排生產計畫,從每天生產的甲、乙兩種產品中,公司共可獲得的最大利潤是( )
a、1800元b、2400元c、2800元d、3100元
10、如圖,半徑為的半球的底面圓在平面內,過點作平面的垂線交半球面於點,過圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交,所得交線上到平面的距離最大的點為,該交線上的一點滿足,則、兩點間的球面距離為( )
a、 bc、 d、
11、方程中的,且互不相同,在所有這些方程所表示的曲線中,不同的拋物線共有( )
a、60條b、62條c、71條d、80條
12、設函式,是公差為的等差數列,,則( )
abcd、
第二部分 (非選擇題共90分)
注意事項:
(1)必須使用0.5公釐黑色簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區域內作答,作圖題可先用鉛筆繪出,確認後再用0.5公釐黑色簽字筆描清楚。答在試題卷上無效。
(2)本部分共10個小題,共90分。
二、填空題(本大題共4個小題,每小題4分,共16分。把答案填在答題紙的相應位置上。)
13、設全集,集合,,則
14、如圖,在正方體中,、分別是、的中點,則異面直線與所成角的大小是
15、橢圓的左焦點為,直線與橢圓相交於點、,當的周長最大時,的面積是
16、記為不超過實數的最大整數,例如,,,。設為正整數,數列滿足,,現有下列命題:
①當時,數列的前3項依次為5,3,2;
②對數列都存在正整數,當時總有;
③當時,;
④對某個正整數,若,則。
其中的真命題有寫出所有真命題的編號)
三、解答題(本大題共6個小題,共74分。解答應寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟。)
17、(本小題滿分12分)
某居民小區有兩個相互獨立的安全防範系統(簡稱系統)和,系統和在任意時刻發生故障的概率分別為和。
(ⅰ)若在任意時刻至少有乙個系統不發生故障的概率為,求的值;
(ⅱ)設系統在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數為隨機變數,求的概率分布列及數學期望。
18、(本小題滿分12分)
函式在乙個週期內的圖象如圖所示,為圖象的最高點,、為圖象與軸的交點,且為正三角形。
(ⅰ)求的值及函式的值域;
(ⅱ)若,且,求的值。
19、(本小題滿分12分)
如圖,在三稜錐中,,,,平面平面。
(ⅰ)求直線與平面所成角的大小;
(ⅱ)求二面角的大小。
20、(本小題滿分12分) 已知數列的前項和為,且對一切正整數都成立。
(ⅰ)求,的值;
(ⅱ)設,數列的前項和為,當為何值時,最大?並求出的最大值。
21、(本小題滿分12分)
如圖,動點到兩定點、構成,且,設動點的軌跡為。
(ⅰ)求軌跡的方程;
(ⅱ)設直線與軸交於點,與軌跡相交於點,且,求的取值範圍。
22、(本小題滿分14分)
已知為正實數,為自然數,拋物線與軸正半軸相交於點,設為該拋物線在點處的切線在軸上的截距。
(ⅰ)用和表示;
(ⅱ)求對所有都有成立的的最小值;
(ⅲ)當時,比較與的大小,並說明理由。
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