【模組標題】空間中垂直的證明
【模組目標】★★★★☆☆ 識別
【模組講解】
本模組在高考中以解答題形式出現，一般為第（ⅰ）小問，整體難度中檔，大部分的立幾證明都考查垂直．而垂直的載體通常為錐．由於垂直關係比起平面更為複雜，涉及到大量初中平面幾何知識，因此本模組不僅考查了學生的空間想象力，還考查學生的平面幾何基本功．
空間垂直關係的判定及其性質
（一）線面垂直
一．判定定理：
如果一條直線與乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼該直線與此平面垂直．
符號語言表達：
圖形語言表達：
二．性質定理：
①垂直於同乙個平面的兩條直線平行
符號語言表達：
圖形語言表達：
②若直線垂直平面，則直線垂直於面上的任意一條直線
符號語言表達：
圖形語言表達：
（二）面面垂直
一．判定定理：
乙個平面過另乙個平面的垂線，那麼這兩個平面垂直．
符號語言表達：
圖形語言表達：
二．性質定理：
兩個平面垂直
那麼在乙個平面內垂直於它們交線的直線垂直於另乙個平面．
符號語言表達：
圖形語言表達：
【教材內容1】線面垂直證明（4星）
《講解指南》
對於空間中抽象的垂直關係．我們可以採取以下的判斷方法：
①畫出長方體，在長方體條稜，個面上取題目所要求的直線和平面；
②把麵簡化成兩條交線（交線根據題意可任意調整），判斷垂直時，遵循以下原則：
1.判斷線線垂直可通過尋找一些關鍵詞；
2.判斷線面垂直需要線垂直面上兩條交線；
3.判斷哪兩組線線垂直可以利用反向思維來確定線垂直於哪個面，進而找到隱藏度較高的那組線線垂直；
4.判斷面面垂直只需要一條直線滿足線面垂直．
例1．（2015福建文節選）如圖，是圓的直徑，點是圓上異於的點，垂直於圓所在的平面，且，若為線段的中點，求證：平面．
答案：略
解析：平面是圓的直徑
分別是和的中點
平面，平面平面
備註：1. 本題中垂直的證明是借助：直徑所對圓周角是直角，因此可證明，結合條件可證明線面垂直．
星級：識記
3.難度：簡單
4.直徑所對圓周角是，三角形中位線性質、線面垂直的判定。
練1.（2016新課標2理節選）如圖所示，菱形的對角線與交於點，，，點分別在上，，交於點，將沿折到的位置，．證明：平面．
答案：略
解析：是菱形,
且相似比為。。在中滿足勾股定理逆運算，故平面,平面平面。
備註：1.本題中看到菱形這個關鍵詞，便可得，進而；這個數字必然有用，易聯想到求證是直角三角形是乙個入手點。
2.：綜合
3.難度：困難
4.相似三角形證明、勾股定理逆運算、線面垂直的判定
例.如圖是正方體下底面中心，，為垂足．求證：平面．
答案：略
解析：是正方形;平面平面平面
平面;又平面
備註：1.本題一開始便提供了一組線線垂直，現目標鎖定為求證；這兩條直線為異面直線，所以需採用線面垂直來證線線垂直，而是問題中的直線，所以思考方向應定為和所在的面垂直，因為正方形內顯而易見，所以可以鎖定思考方向為平面。
2. vps：識別
3. 難度：中檔
練.如圖所示，在正方體中．求證：面．
答案：略
解析：是正方形平面平面,平面;同理易證平面
備註：1.本題求證線面垂直，必有兩組線線垂直；不妨鎖定和,由幾何體對稱性可知兩組線線垂直證明方法一樣。
對前者而言，先觀察是否有與明顯垂直的線段，即對角線；結合我們要證明的，可知平面勢在必行。但證線面垂直需要兩組線線垂直，是我們要求證的，因此只能想辦法證明;然而根據兩直線為異面直線，可定為使用線面垂直的性質來求證。以上為解題的推理過程。
識別3.難度：較難
例3.在長方體中，點分別在上且，，求證：面
答案：略
解析：平面,平面;平面平面面。
備註：1.本題根據題目中提供的兩組垂直和問題進行對照，可知需求證和,都是互為異面直線，因此用線面垂直的性質來證，故需分別求證平面、平面 。
識別3.難度：中檔
4.通過線面垂直證線線垂直
練3.如圖，在四稜錐中，平面，，．求證：平面．
答案：略
解析：平面平面平面平面
備註：1.本題中平面，，則；又，則題目得證。在一道垂直題目中平行條件很突兀，必然要從這個角度思考一下
識別3.難度：中檔
例4.（15高考浙江，理17）如圖，在三稜柱-中，，,，在底面的射影為的中點，為的中點.
證明：平面；
答案：略
解析：三稜柱上下底面全等，是等腰直角三角形;取中點,則平面;綜上可知平面。
備註：1.本題取點為中點，依題意，平面,即平面，故;又,為中點，所以,即.
2. vps：識別
3. 難度：中檔
練4.在四稜錐中，底面為矩形，底面，分別為，的中點．，求證：面．
答案：略
解析：分別為的中點，是平行四邊形；
平面;平面平面
備註：1.對於中點要敏感一些，基本是要用到三角形中位線，有時是作連線中點的輔助線
遷移3.難度：困難
《講解小結》
線面垂直的證明，基本思路是在所求平面內，找到兩條交線與所求直線垂直。依直線位置，可分類討論：
1.若兩直線是共面垂直，一般借助的是平面幾何圖形中的垂直關係，例如1.等腰△或等邊△的三線合一；2.
勾股定理的逆定理（有時需要用餘弦定理求解相關邊長）；3.菱形對角線相互垂直；4.直徑所對的圓周角是直角；5.
非零向量的數量積為零（講到空間向量部分再作補充）；6.線面垂直的性質；7.相似或者全等；8.
平行線垂直於直線的傳遞性；9.角度之和為90°。（勾股定理和相似是下下策）可證垂直；
2.若兩直線是異面垂直，一般借助的是線面垂直，從而利用線面垂直性質定理證明線線垂直。
【深度拓展】
《拓展講解》
除了常規的同一平面內垂直和異面直線垂直的思路，還有兩個常見技巧：餘弦定理和相似證明，下面通過例題來說明.
例5.已知直角梯形，如圖所示， ，， ，，連線，將沿折起，使得平面平面，得到幾何體，如圖所示.求證：平面；
答案：略
解析：在中,,故,使得滿足勾股定理逆運算，平面平面,交線為平面
備註：本題結合，利用餘弦定理算出，滿足勾股定理逆運算；而兩平面垂直，交線，故平面
備註：1.在證非異面的線線垂直遇到瓶頸時要懂得往相似證明或者勾股定理逆運算方向去想；當選擇要用勾股定理去證時，某些線段的求解可以用到餘弦定理。
2. vps:識別
3. 難度：較難
4. 面面垂直的性質、餘弦定理、線面垂直的判定
練5 在平行四邊形中， ， ， ，是中點（如圖1）.將沿折起到圖中的位置，得到四稜錐.
將沿折起的過程中， 平面是否成立？並證明你的結論；
答案：成立
解析：在中，,使得滿足勾股定理逆運算。;平面
2. vps：識別
3. 難度：中檔
4. 餘弦定理、勾股定理逆運算、線面垂直的判定
例6.（2023年廣州文節選）在正方體中，為的中點，為底面的中心．求證：⊥面．
空間中的平行與垂直關係 基礎
知識 知識梳理 一 平行 1 平行公理 2 構造三角形 3 構造平行四邊形 4 線面平行性質 5 面面平行性質 6 線面平行判定 7 面面平行的性質 8 面面平行的判定1 9 面面平行的判定2 典型例題 例1 正方體中，分別是的中點，求證 變式 如圖，兩個全等的正方形abcd和abef所在的平面相交...
學生版 空間中的平行與垂直問題理
班級姓名座號成績 一 選擇題 廣東省潮州市2013屆高三上學期期末教學質量檢測數學 理 試題 對於平面和共面的兩直線 下列命題中是真命題的為 a 若,則 b 若,則 c 若,則 d 若 與所成的角相等,則 2009高考 廣東理 給定下列四個命題 若乙個平面內的兩條直線與另乙個平面都平行，那麼這兩個平...
2019高考數學 理 隨堂演練空間中的垂直關係
7.5 直線與平面垂直 一 選擇題 1 設m n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題，其中正確命題的序號是 若m n 則m n 若 m 則m 若m n 則m n 若 則 a 和 b 和 c 和 d 和 答案 a 2 二面角 l 的大小為銳角，p l，pa pb 且pa l，則 a a...